Технические науки/2. Механика

 

Бакиров Ж.Б., Михайлов В.Ф.

Карагандинский государственный технический университет, Казахстан

Исследование устойчивости случайных

нелинейных колебаний

 

Нелинейные задачи динамики весьма актуальны для инженерной практики в связи с повышением уровня нагруженности механизмов и машин, увеличением их скоростей. Среди этих задач недостаточно изученными остаются нелинейные задачи статистической динамики. В настоящее время получены стационарные решения случайных колебаний упругих систем с учетом геометрической нелинейности [1; 2]. Эти решения могут приводить к неоднозначным зависимостям для статистических характеристик, особенно при узкополосных случайных воздействиях. Среди неоднозначных решений необходимо выделить ветви, соответствующие устойчивым режимам. Эта задача решается на основе уравнений в вариациях, составленных по отношению к исходным нелинейным уравнениям.

Колебания тонкой упругой цилиндрической панели под действием случайных сил при одночленном приближении описываются нелинейным уравнением вида

                                    ,                               

где  — смещение в центре панели; ,  — частота и коэффициент затухания колебаний; параметры нелинейности ,  зависят от размеров панели;  — обобщенная случайная сила. При  получаем известное уравнение Дуффинга, описывающее нелинейные колебания стержней и пластин, а также движение ряда других механических систем.

Будем считать, что стационарное решение уравнения известно, то есть известно распределение случайной функции  и все ее статистические характеристики. Поставим вопрос об устойчивости стационарного режима. Представим возмущенное движение системы как сумму двух случайных функций:

                                                 ,

где  имеет смысл случайной вариации, то есть отклонения от стационарного решения , которую рассматриваем как нестационарный процесс. Подставляя это выражение в уравнение получаем нелинейное стохастическое уравнение в вариациях. Линеаризуя полученное уравнение, имеем

                                    .                               

Итак, задача об устойчивости стационарного режима сводится к исследованию эволюции во времени статистических характеристик отклонения . При этом исходный режим играет роль параметрического воздействия.

В соответствии со спектральным методом введем интегральное представление процессов:

                                            ;

                                     ,                               

где  и  — неизвестные детерминированные функции; ,  — случайные спектры.

Допустим, что для исходного уравнения получено приближенное решение, основанное на гипотезе гауссовости процесса . Тогда относительно функций ,  по изложенной выше методике нетрудно вывести систему дифференциальных уравнений в среднем и среднеквадратичном. Подставляя в , находим

              

Осредняя это уравнение, получим

                        ,                   

где .

Перейдем в в пространство Фурье, умножим полученное уравнение на комплексно-сопряженный спектр  и произведем осреднение, предполагая спектр  квазигауссовским. В результате дальнейшего интегрирования по частоте , получим уравнение движения в среднеквадратичном, дающее связь между спектрами

                                         (3.39)

При выводе этого уравнения моментная функция четвертого порядка с учетом свойства гауссовости выражена через моменты второго порядка по известным формулам, как это сделано ранее для нелинейного члена :

                    

Соотношения между спектрами  и , а также между математическими ожиданиями  и  можно получить из стационарного решения . Это решение находится из и , если положить в них при  , а . Тогда имеем

                ; ,

где .

Если отсюда исключить , то получим

                                             

Для решения уравнений и воспользуемся операторным методом. Из уравнения следует

                                 ,

где ; ;

 — изображения соответствующих функций. Из уравнения , учитывая последнее равенство, получаем характеристическое уравнение устойчивости

                                                      .

С учетом равенства можно записать

         

После математических преобразований характеристическое уравнение можно привести к следующему виду

                                           ,                                      

где

                                    ;    ;                

                                   ;    .

Вероятностные характеристики процесса  (, , ) определяются из стационарного решения исходной нелинейной задачи. После вычисления интеграла (9) исследование устойчивости сводится к процедуре Рауса—Гурвица для полинома, вытекающего из уравнения .

В качестве примера рассмотрим уравнение Дуффинга (=0) при центрированном случайном воздействии. В этом случае =0 и из уравнения следует , а из уравнения

                                         ,

где  совпадает с при . Проинтегрируем последнее уравнение по частоте и получим характеристическое уравнение относительно параметра Лапласа

                                       .                                

При идеально-узкополосном воздействии с несущей частотой  из решения нелинейной задачи имеем [3]

                                       ; .

Введем безразмерные параметры

                                   ,   ,   ,  

и уравнение для определения дисперсии запишем в виде

                                         .                  

Подставляя  в , получим

            .

Введем обозначения

                                              , ,

и перепишем характеристическое уравнение в безразмерном виде. Тогда относительно параметра  получим полином четвертой степени с коэффициентами:

          , , , ,

                                            .                   

Далее исследование устойчивости по процедуре Рауса—Гурвица сводится к выполнению следующих неравенств

                                                ;

                                                                         .                                     

Второе неравенство можно переписать так:

                            .

Это неравенство выполняется всегда, следовательно, колебания будут устойчивыми, если выполняется первое неравенство .

 

Литература:

1. Макаров Б.П. Нелинейные задачи стохастической динамики машин и приборов. М.: Машиностроение, 1983.—264с.

2. Болотин В.В. Случайные колебания упругих систем. М.: Наука, 1979.—336с.

3. Бакиров Ж.Б., Михайлов В.Ф. Применение спектрального метода к анализу нелинейных случайных колебаний // Доклады АН ВШ. Естественные науки, №1. Новосибирск, 2008. С. 6-15.