К.ф.-м.н.,
доцент Габасова О.Р.
Белорусский
национальный технический университет
Об условиях ε-оптимальности программных управлений в задаче
оптимального управления одним типом гибридных систем
Рассмотрим линейную задачу оптимального
управления гибридных систем:
, (1)
(2)
, (3)
(4)
Здесь – промежуток
управления
,
фиксированы,
,
– периоды квантования
времени,
– заданные натуральные числа
,
;
- заданные матрицы,
;
;
;
,
– заданные матрицы и векторы;
,
– заданные кусочно-непрерывные матричные функции.
Определение.
Функция называется дискретной
в прямом (обратном) времени с периодом
заданное натуральное число), если
Пусть ,
,
– заданные дискретные матричные функции в прямом времени с
периодом квантования
;
– дискретная функция в прямом времени с периодом квантования
;
– состояние непрерывной части системы в момент времени
,
– состояние дискретной части системы.
Для задачи (1) – (4) справедлива следующая
формула Коши [1]:
(5)
.
Здесь функции
удовлетворяют
следующим условиям:
При построении
алгоритмов вычисления оптимальных программ большую роль играет оценка
субоптимальности
, которая зависит от программы
и опоры. Известно,
что при оптимальном управлении объектами, поведение которых описывается
обыкновенными дифференциальными уравнениями
, (6)
оценка субоптимальности допускает разложение
,
где -мера неоптимальности допустимой программы
,
- мера неоптимальности опоры
- оптимальная программа, двойственная по отношению к задаче (5).
Теорема 2. Оценка субоптимальности
опорного управления допускает представление
.
Доказательство.
Принимая во внимание результаты работы [3], запишем оценку субоптимальности
опорной программы для исходной задачи (1) – (4). Имеем
. (7)
Преобразуем (7):
(8)
.
Используя (5), получаем
(9)
Аналогично,
æu
+
æv
(10)
.
Вычитая (9) из (10), получим
æu
+
æv
+ (11)
.
Проведем аналогичные преобразования ограничений (3)
(12)
.
æu
+
æv
=
Сравнивая (12), (11) и (7) получаем
=æu
+
æv
.
Теорема доказана.
Теорема 2
(критерий субоптимальности). При для
-оптимальности программы
необходимо и достаточно существование такой опоры
, при которой на опорной программе
и соответствующих ей
траекториях
,
прямой и сопряженной систем и котраектории
выполняются соотношения
;
.
Литература
1.Габасова О.Р.
Оптимизация линейных гибридных систем управления // Вестник БНТУ. –2007. – №
2. – С. 71 – 75.
2.
Альсевич В.В. Оптимизация линейных экономических моделей. Статические задачи:
учебное пособие / В.В. Альсевич, Р. Габасов, В.С. Глушенков– Мн.: БГУ, 2000. –
210 с.
3.
Конструктивные методы оптимизации в 5 ч. / Габасов Р. [и др.] Мн.: Университетское.
1984 – 1998. – Ч.1. Линейные задачи. Р.
Габасов, Ф.М. Кириллова, А.И. Тятюшкин – 1983. – 214 с.