Математика/5. Математическое моделирование

Д.п.н. Монахова Л.Ю.

Военная академия связи, Россия

Генерирование задач по аналитической геометрии в пространстве и оценка их сложности

 

 

Категория «качества» в сфере образования широко обсуждается педагогической общественностью. Исследования ведутся как с общих философских позиций, когда качеством объявляется все [1], так и с частных практически ориентированных трактовок, реализуемых в реально существующих или вновь создаваемых образовательных системах.

Современный период характеризуется стремительным внедрением в образовательный процесс компьютерных технологий. В этой связи особый интерес приобретают проблемы оценки качества приобретаемых обучающимися знаний, умений и навыков при использовании автоматизированных обучающих комплексов.

Предложенный авторами в [2] принцип генерирования учебных заданий реализован в автоматизированном обучающем комплексе, предназначенном для выработки умений решения задач по аналитической геометрии в пространстве.

Первой компонентой комплекса служит доступный только преподавателю генератор заданий. Удобный интерфейс позволяет сформировать шаблон задания, имеющий вид дерева, узлами которого служат различные геометрические процедуры или числовые параметры геометрических объектов (Рис 1). Корневой узел является искомым и может быть, в частности, вариативным с произвольными случайными ветвями. Древовидная структура задания позволяет естественным образом сформировать аддитивный критерий сложности, который для каждого узла складывается из оценок сложностей дочерних узлов и собственной сложности метода, соответствующего рассматриваемому узлу. При проектировании шаблона преподаватель получает информацию относительно сложности отдельных подзадач или всего задания в целом (числа в квадратных скобках на рис. 1) и в зависимости от этого принимает решение об окончательной его структуре. Если узел является вариативным, то указываются границы изменения сложности по всем возможным вариантам.

Расчет сложности опирается на задаваемые экспертным путем значения сложности элементарных задач, допускающих непосредственное решение. Преподаватель имеет возможность переопределить принятые по умолчанию значения сложности элементарных задач. Сложность C(v) комплексной подзадачи v (в частности, и всего задания) вычисляется по рекуррентной формуле:

,

где s(v) – сложность метода решения задачи v, C(vk) сложности подзадач, дочерних для v.

Разумеется, получаемая по данной методике оценка сложности является достаточно условной, поэтому нет смысла вычислять ее с высокой точностью, а весовые коэффициенты конкретных подзадач достаточно задавать экспертным путем или по результатам тестов, проводимых с контрольной группой обучающихся.

Разработанные шаблоны заданий сохраняются и служат основой для генерирования индивидуальных заданий обучающимся.

При работе с программой студент загружает указанный файл задания и отрабатывает заданное число вариантов задач, выдаваемых генератором (Рис.2).

Стандартный режим работы предусматривает ввод ответа в предлагаемой форме (обычно в виде набора чисел или уравнений) и немедленный контроль правильности полученного результата. В случае неудовлетворительного ответа обучающийся может воспользоваться справочной системой (Рис. 3) или проверить точность промежуточных вычислений на любом этапе. Наконец, в режиме обучения имеется возможность просмотреть автоматически формируемое системой каноническое решение всей задачи или отдельных ее фрагментов.

Рис.3

Важным аспектом функционирования обучающего комплекса является оценка выполненных заданий. Основными факторами, влияющими на полученную оценку, служат количество попыток ввода ответа, обращение к справочной системе или запрос правильных промежуточных результатов, затраченное время. Критерием правильности ответа служит рейтинг, вычисляемый рекурсивно по всем подзадачам, выбранным для ввода результата. Студенту предоставляется выбор между поэтапным вводом ответов для некоторых подзадач или вводом окончательного ответа на всю задачу. Первый режим является предпочтительным, так как позволяет более дифференцировано подойти к оценке выполняемой работы. Вычисление рейтинга R(v), достигаемого на подзадаче v, выбранной для ввода ответа (в частности, на всей задаче), производится по формуле:

,

где  – приведенная сложность подзадачи, вычисляемая как

,

 – дочерние подзадачи для v, в которые вводились ответы,

 – коэффициент редукции рейтинга, учитывающий число попыток ввода ответа,

 – коэффициент редукции рейтинга, учитывающий использование справочной системы для данного узла,

 – коэффициент редукции рейтинга, учитывающий затраченное время.

Приведенные выше коэффициенты вычисляются следующим образом:

,

где коэффициент α может быть установлен преподавателем (по умолчанию α = 4),

 устанавливается непосредственно (по умолчанию ).

Если заданием предусмотрено ограничение по времени, то

,

где Tконтр – время, предусмотренное заданием,

T – время, фактически затраченное на выполнение задания,

λ – показатель, регулирующий важность критерия времени в общей оценке (по умолчанию λ = 0.5).

Текущие значения рейтинга для очередного этапа ответа выводятся в статус строке (Рис. 2). Окончательный рейтинг R может быть трансформирован в оценку как нормированное отношение к сложности C всей задачи. Например, по четырех бальной шкале Оценка = Round(4R/C).

Информация о сложности задания и достигнутом рейтинге заносится в отчет о выполненной работе, что позволяет более дифференцировано подойти к оценке отдельных студентов.

Аналогичная система разработана для обучения и контроля знаний по теме “Дифференцирование функций”. В рамках данной системы преподавателю предоставляется возможность формирования шаблонов предлагаемых для дифференцирования функций, разнообразие которых практически не ограничено. Обучающийся должен ввести аналитическое выражение производной функции, предложенной генератором. Форма ввода ответа близка к естественной математической записи, а его правильность определяется семантической эквивалентностью каноническому решению. В обучающем режиме имеется возможность просмотреть правильный результат.

Применение подобного рода автоматизированных обучающих систем дает возможность охватить индивидуальными заданиями широкий круг студентов при сравнительно небольших затратах труда на подготовку шаблонов и просмотр отчетов о результатах выполнения. В режиме обучения, пользователь, будучи избавлен от психологического давления преподавателя, может многократно вызывать различные варианты однотипных задач и приобретать устойчивые умения их решения.

 

Литература

1.      Субетто А.И. Онтология и феноменология педагогического мастерства. Книга первая. -Тольятти, 1999.

2.     Конюховский В.С., Монахова Л.Ю. Генерирование учебных заданий по математике. Материалы межрегиональной научно-практической конференции “Дополнительное профессиональное образование. Проблемы и перспективы взаимодействия Санкт-Петербурга с регионами России”. Смольный, 15-17 марта, 2000. – СПб, 2000.