ЭКОНОМИКАЛЫҚ МАЗМҰНДАҒЫ ЕСЕПТЕРГЕ КОМБИНАТОРИКА МЕН ЫҚТИМАЛДЫҚТАР ТЕОРИЯСЫН ҚОЛДАНУ

 

Берікханова Г.Е. - педагогика ғылымдарының кандидаты

Қазақстан республикасы, Семей қаласы

 

Соңғы жылдары комбинаторика, ықтималдықтар теориясы жедел даму үстінде. Комбинаторикалық әдістер транспорттық есептер шешуде,  кестелер, өндірістік жоспарлар құрастыруда және өнімді өткізу мәселесінде қолданылады. Комбинаториканың негізгі ұғымдары көптеген ықтималдық есептерінің, сызықтық программалаудың, статистиканың негізі болып табылады. Сонымен қатар, комбинаторика автоматтар теориясында, экономикалық есептерде,  биология және генетикада қолданылады.

Комбинаторика мен ықтималдықтар теориясын қолдану арқылы  нақты экономикалық есептерді тиімді шешу жолдарын   қарапайым есептермен көрсетуге болады. Кредит, банк, биржа, болжау мен тәуекелдік жұмыстарымен байланысты  есептеулерді  тек элементарлық математикада арқылы шешу мүмкін емес.  Қазіргі бизнесте  цифрлар  колонкасын  тек дұрыс тізіп  қою біліктілігі  жеткіліксіз, сонымен қатар  арнайы математикалық әдістер негізінде экономикалық ойлауды қажет етеді.

Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистиканың  кездейсоқ жағдайлармен анықталатын экономикалық есептерде қолданылатынын мысалдар арқылы көрсетейік. 

 1-мысал. Ақша қаражатын үлестіру жайлы есеп. 10 миллион теңгені  4 экономикалық объектілерге тарату укерек.  Егер әрбір  объектіге  бүтін сан теңге салынатыны белгілі болса,  онда неше тәсілмен  ақшаны үлестіруге болады.

Шешуі: Бұл есеп өзінің мазмұны бойынша  комбинаторикалық, сондықтан мұндай есепті шешу үшін  10 санының  4 топқа  барлық  бүтіндей бөлінуін  қарастыру қажет. Яғни, 

 (10, 0, 0, 0); (0, 10, 0, 0); (0, 0, 10, 0); …

(9, 1, 0, 0,); (9, 0, 1, 0); (9, 0, 0, 1); …..

………………………………………….

(7, 2, 1, 0); (7, 2, 0, 1); (7, 0, 2, 1);……

…………………………………………..

(4, 3, 2, 1); (4, 2, 1, 3); (4, 1, 2, 3); …….. типтес барлық  мүмкін болатын  комбинациялардың  қосындысын есептеу керек.

Түсіндірме:  Мысалы,   (4, 3, 2, 1)  таңдамасы 1-объектіге – 4 млн, 2-объектіге -3 млн, 3-объектіге – 2 млн, 4-объектіге – 1 млн теңгенің үлестірілгенін білдіреді.  Бұл есеп   n=10 санын   к=4 қосындысы ретінде  қосылғыштарға жіктеу жайлы  есепке келеді.

Сонымен,  n=10 және  к=4.  Қайталанбалы терудің формуласын қолдана отырып, яғни =  тәсіл бойынша    10 млн теңгені  4 объектіге бөлуге болады.  

 2-мысал. Дайын деталь алу үшін  А, В, және С операцияларын  орындау қажет. Деталь дайындайтын үш станок бар. Бірніші станокта   А операциясы    n минутта орындалады, екінші  станокта бұл операция  1,2 есе  тез орындалады, ал үшінші станокта  - 1,25 есе  байяу  орындалады.

В операциясы  бірінші станокта p минутта орындалады, екінші станокта – 1,2 есе байяу  орындалады, ал үшінші  станокта – 1,2 есе  жылдам орындалады. С опрерациясы бірінші станокта t минутта орындалады, екінші станокта – 1,4 есе  тез, ал үшіншіде – 1,2 есе тез орындалады.  n, p, t  сәйкесінше 2, 3  және 4 сандарына пропорционал.  А, В, С операцияларын  орындау үшін қандай станок дайындау керек?

Шешуі: әртүрлі  операцияны  орындау үшін станоктардың  мүмкін комбинациялары үш элементтен тұратын  алмастыру санына тең, яғни  n=3.   Алмастырудың формуласы бойынша  Р3= 3!==6 тең болады.

Барлық тәсілдерді атап көрсетейік:

1)      Бірінші станок А операциясын,  екіншісі – В, үшіншісі - С операциясын орындауға дайындалады,

2)      Біріншісі –   А, екіншісі-   С, үшіншісі –   В;

3)      Екіншісі –   А, біріншісі –   В, үшіншісі –   С;

4)      Екіншісі –   А, біріншісі –   С, үшіншісі –   В;

5)      Үшіншісі –   А, біріншісі –   В, екіншісі –   С;

6)      Үшіншісі –   А, біріншісі–   С, екіншісі –   В.

Станоктардың бұл алты комбинацияларымен  есептің барлық мүмкін болатын варианттары қарастырылады.  Енді, осылардың ішінен  ең тиімді шешімі  детальды дайындау  уақытының аздығы болып табылады.  

  t арқылы n мен  p-ны өрнектейік.   n=0,5t, р=0,75t. Әрбір операцияның  орындалу уақытын  кестеге енгіземіз.

 

Станоктар

Операцияла   р

Бірінші

Екінші

 Үшінші

А

0,5t

(5\12)t

0,625t

В

0,75t

0,9t

0,625t

С

t

(5\7)t

(5\6)t

 

Кестедегі сандар - станоктағы операцияларды орындау уақыты.  Кестедегі берілгендердің ішінен,  барлық мүмкін болатын варианттарды қарастыра отырып, ең тиімдісін  таңдап алуға болады.  Әртүрлі баған мен жолдың қиылысуында орналасқан  клеткадағы  үш сан есептің шешуінің бір мүмкін вариантына сәйкес келеді.  Мұндай сандар комбинациясы қанша болса, есептің шешуінің варианттары да сонша болады.

Дәлелді болу үшін,

t+0,9t+0,625t>(5/7)t+0.5t+0.625t

0.5t+0.9t+(5/6)t>0.5t+0.625t+(5/7)t

0.75t+0.625t+(5/6)t>0.5t+0.625t+(5/7)t

Бұдан көрініп тұрғандай, тек үш қосындыены табумен шектелуге болады. 

 0.5t+0.625t+(5/7)t,

Есеп көрсеткендей, ең тиімдісі бірінші болып табылады. 

0.5t+0.625t+(5/7)t1,84t

Сонымен    А операциясын орындау үшін бірінші станокты,   В операциясына -  үшінші, С операциясына – екінші станокты даярлау керек.  

3-мысал. Кәсіпкер  өзінің  қаражатын тең бөліп екі шартқа отырды, әрбіреуі оған 100 пайыз  кіріс әкеледі.  Әрбір шарттың  «күйремеу» ыктималдықтары 0,8 тең.  Шарттың уақыты  өткеннен кейін  кәсіпкер  ең болмағанда ештеңесін жоғалтпау (өзінің қаражатын сақтап қалу) ықтималдығы  қандай?   

Шешуі. Егер  шарттың біреуі  «күйремесе» (себебі екінші шарт шығынды  жабады), немесе  екі шарт та орындалса, онда  кәсіпкер  кем дегенде өзінің қаражатын сақтап қалады, яғни шығынға ұшырамайды. және оқиғалары - сәйкес шарттардың орындалуы болсын,  ықтималдықтары  р=0,8, бұл  оқиғалар бір-бірінен тәуелсіз.  Ал оларға қарама-қарсы оқиғалар және  -  шарттардың орындалмауы q=0,2.  Онда    оқиғалары үйлесімсіз болады.  Бұл ықтималдықты  мына формула бойынша табамыз (мұндағы  - екі шарттың да орындалуы)

.

Сонымен қазіргі экономикада комбинаторика, ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика элементтері кәсіпкерге көптеген  мүмкіндіктердің ішінен  ең тимдісін таңдап алуға көмектесетін құрал ретінде қарастырылады.  

 

Пайдаланылған әдебиеттер:

1.     М. С. Красс, Б. П. Чупрынов. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. М. Дело. 2000.

2.     Виленкин Н. Я. Комбинаторика. М., Наука. 1969.

3.     Берікханова Г.Е. Бейіндік мектептерде математиканы оқыту ерекшеліктері.     //Высшая школа Казахстана. 2010. №2. с.52-55.

4.     Нұрпейісов С.А., Сатыбалдиев О.С., Өтепбергенұлы М. Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика: Оқу құралы. – Алматы: Экономика. 2005. – 208 бет.

5.     Г.Е.Берікханова, Г.К.Нұрсұлтанова.Комбинаторика, ықтималдық және статистика. Оқу-әдістемелік құрал. М.О.Әуезов атындағы Семей универ-ситеті: Семей, 2008. -101бет.

6.     Райзер Г. Дж. Комбинаторная математика. М., Мир, 1966.