Шилинец В.
А., Подполухо Е. В., Борис Т. И.
Белорусский
государственный педагогический университет
РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ МЕТОДАМИ ГИПЕРКОМПЛЕКСНОГО АНАЛИЗА
Для
исследования дифференциальных уравнений в частных производных используются
разные методы. Одним из таких методов является метод функций, моногенных в смысле В.С.
Федорова (F-моногенных) [1–9]. В частности, при помощи
F-моногенных функций удается построить
функционально-инвариантные решения системы Максвелла для электромагнитного поля
в пустоте [10, 11]. Кроме этого, при помощи указанных функций удается для отдельных видов
дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений строить решения
в замкнутой форме. В данной работе при помощи F-моногенных
функций исследуется система трех дифференциальных уравнений в частных
производных с тримя неизвестными функциями и постоянными коэффициентами.
Рассмотрим систему
дифференциальных уравнений в частных производных вида
(1)
где 
– искомые комплексные
функции двух действительных переменных 
; 
– некоторые
комплексныя константы. Для изучения данной системы дифференциальных
уравнений (1) используем линейную ассоциативно-коммутативную
алгебру (гиперкомплексную систему) 
с единицей над полем
комплексных чисел. Алгебра 
имеет базис 
, закон умножения определяется равенством 
. Рассмотрим сначала задачу о приведении системы
дифференциальных уравнений (1) к гиперкомплексном
виду
, (2)
где 
, 
, 
, 
– комплексные
константы. Из системы (1) получаем
(3)
Последнее равенство (3) можно записать в следующем виде:
,
(4)
где 
. Уравнение (4) можно рассматривать
как условие (2) при 
, 
в алгебре 
, где закон умножения определяется равенством 
.
Как известно, условие
(необходимое и достаточное) моногенности одной гиперкомплексной функции 
по другой
гиперкомплексной функции 
в некоторой области 
плоскости 
имеет вид 
(причём полагается,
что в каждой точке области 
существует элемент
данной алгебры 
, обратный значению 
или 
в данной точке). Получаем,
что равенство (4) определяет моногенность
гиперкомплексной функции 
по гиперкомплексной
функции 
, где функция 
удовлетворяет
следующим условиям:
,
откуда получаем, что 
.
Таким образом, общим решением
системы дифференциальных уравнений в частных производных (1), записанным в гиперкомплексном виде, в данной области 
плоскости 
будет произвольная
гиперкомплексная функция 
, моногенная в смысле В.С. Фёдорова в области 
по функции 
. В этом случае условимся писать 
.
Исследуем структуру функций 
. Наряду с гиперкомплексной системой с базисом 
рассмотрим гиперкомплексную
систему с базисом
,
,
,
где 
.
Тогда 
, 
, 
, откуда 
; аналогично 
, 
. Очевидным является равенство 
. Если учесть, что 
, то будем иметь
, 
, 
,
откуда
, 
, 
.
Таким образом, 
, 
, откуда 
где 
– комплексные числа. Если
использовать последнее равенство, функции 
, 
, 
, можно записать следующим образом:
, 
, 
,
где
, 
, 
,
,
,
,
, 
, 
.
Тогда условие моногенности 
функции 
по функции 
примет следующий вид: 
, откуда 
, 
, 
, т. е. комплексная функция 
является F-моногенной по
комплексной функции 
, функция 
является F-моногенной по функции 
, 
– F-моногенной по функции 
.
Таким образом, для компонент 
функции 
, F-моногенной по функции 
, имеем:
, (5)
где 
(
, 
) – произвольная комплексная функция, F-моногенная по функции 
(
, 
) в области 
. Из равенств (5)
получаем следующую теорему.
Теорема. Общее решение системы
дифференциальных уравнений в частных производных (1)
имеет вид:
, 
, 
,
где 
(
, 
) – произвольная комплексная функция, F-моногенная по функции 
(
, 
) в области 
; 
.
Литература:
1.
Федоров В.С. Основные
свойства обобщённых моногенных функций // Известия вузов. Математика, 1958.– №
6.– С. 257-265.
2.
Павлов С.Д. Решение систем линейных
дифференциальных уравнений с частными производными с помощью моногенных функций
в смысле В.С. Федорова // Anal. stiint. Univ. Iasi, 1962. – T.8, f. 2.– P. 323-329.
3.
Стельмашук Н.Т. О
некоторых линейных дифференциальных системах в частных производных // Сибирский
математический журнал, 1964.– Т.5, № 1.– С. 166-173.
4.
Федоров В.С., Стельмашук
Н.Т. Решение некоторых уравнений в частных производных методами F-моногенных функций // Rev. Roum. de Math. Pures et Appl., 1973. – Т. 18, № 2.– Р. 233-241.
5.
Кусковский Л.Н. О
краевой задаче типа Римана-Гильберта // Дифференциальные уравнения, 1975.– Т. 11,
№ 3.– С. 523-532.
6.
Стельмашук Н.Т.,
Пенчанский С.Б. О решении одной линейной дифференциальной системы в частных
производных методами F-моногенных
функций // Дифференциальные уравнения, 1990.– Т. 26, № 4.– С. 724-727.
7.
Стельмашук Н.Т., Шилинец
В.А. Метод формальных производных для решения задачи Коши для одной системы
дифференциальных уравнений в частных производных // Дифференциальные уравнения,
1993.– Т.
29, № 11. – С. 2019-2020.
8.
Stelmashuk N.T., Shylinets V.A. The solution of the boundary value problem
for a system of equations in formal derivatives by means dual differential operators
// Труды института математики НАН Беларуси, 2004.– Т. 12,
№ 2.– С. 170-171.
9.
Стельмашук Н.Т., Шилинец
В.А. О преобразовании к каноническому виду системы линейных уравнений в частных
производных с помощью двойных дифференциальных операторов // Весці НАН Беларусі. Сер.
фіз.-мат. навук, 2008.– № 2.– С. 61-65.
10.
Стельмашук Н.Т. Об одном
исследовании системы Максвелла с помощью F-моногенных функций // Журнал вычислительной математики
и математической физики, 1967.– Т. 7, № 2.– С. 431-436.
11.
Стэльмашук М.Т., Шылінец У.А. Пабудова
інтэгральных выяўленняў для функцыянальна-інварыянтных рашэнняў сістэмы
дыферэнцыяльных раўнанняў Максвэла // Весці БДПУ, 1999.– № 2.– С. 147-150.