Математика

1. Диференціальні та інтегральні рівняння

Комарницька Л.І., Мирошниченко М.В.

Дрогобицький державний педагогічний університет імені І.Франка

Багатоточкова задача для двовимірного аналогу рівняння Соболєва

В області , для рівняння

, (1)

де , , – оператор Лапласа, розглядається задача з умовами , , . (2)

На просторові змінні , накладаються умови -періодичності.

Нехай (1¢) – відповідне однорідне рівняння, (2¢) – відповідні однорідні умови.

Розв'язок задачі (1), (2) шукається у просторі функцій у вигляді ряду ,

де , – розв'язок задачі (1), (2′), – розв'язок задачі (1'), (2); , , , , ; – простір функцій з нормою ; , .

Нехай , , корені характеристичного рівняння для рівняння (1¢). Припускається, що вони попарно різні і відмінні від нуля.

Теорема 1. Для єдиності розв'язку задачі (1), (2) в просторі необхідно і достатньо, щоб виконувались умови:

, , .

При виконанні умов єдиності розв'язок задачі (1), (2) формально зображається у вигляді ряду , (3)

,

, , – алгебраїчне доповнення елемента у визначнику .

Теорема 2. Нехай існують додатні сталі і , , такі, що для всіх (крім скінченного числа) векторів і довільного , , виконуються нерівності: , (4)

, , (5)

і нехай , де і , де , . Тоді існує розв'язок задачі (1), (2) , який належить простору .

Доводяться теореми метричного характеру про виконання оцінок (4), (5).

Теорема 3. Для майже всіх (відносно міри Лебега в просторі ) векторів , де , і для довільного фіксованого вектора , де – вектор, складений з коефіцієнтів рівняння (1), крім коефіцієнтів і , оцінка (4) виконується при для всіх (крім скінченного числа) векторів .

Теорема 4. Для майже всіх (відносно міри Лебега в просторі ) векторів і для довільного фіксованого вектора , нерівності (5) виконуються при для всіх таких, що .

Нехай виконуються співвідношення:

, , , (6)

тобто умови (2) фіксують стани процесу, що описується рівнянням (1), через рівні проміжки часу.

Теорема 5. Якщо виконуються співвідношення (6), то для єдиності розв'язку задачі (1), (2) в просторі необхідно і достатньо, щоб виконувались умови: , , , .

При виконанні умов теореми 5 розв'язок задачі (1), (2) формально зображається у вигляді ряду (3), де

,

, , – сума всеможливих добутків елементів взятих у кількості штук, .

Теорема 6. Нехай існують додатні сталі , і , такі, що для всіх (крім скінченного числа) векторів і довільного , , виконуються нерівності (5) та нерівності

, , . (7)

Якщо , де і , де , , то в просторі розв'язок задачі (1), (2) існує.

Теорема 7. Для майже всіх (відносно міри Лебега в просторі ) векторів , і для довільного фіксованого вектора нерівності (7) виконуються при для всіх таких, що .

Для рівняння (1) розглядаються також умови

, , , (8)

де , .

Теорема 8. Для єдиності розв'язку задачі (1), (8) в просторі необхідно і досить, щоб виконувались умови:

, , , .

Якщо виконуються умови теореми 8, то розв'язок задачі (1), (8) формально зображається у вигляді ряду

,

, .

Теорема 9. Нехай існують додатні сталі , , і , такі, що для всіх (крім скінченного числа) векторів і довільного , , виконуються нерівності (4), (5) та нерівності

, , (9)

і нехай , де . Тоді існує розв'язок задачі (1), (8), який належить простору .

Теорема 10. Для майже всіх векторів нерівності (9) виконуються для всіх , , при .

Література:

1. Пташник Б.Й., Комарницька Л.І. Багатоточкова задача для диференціальних рівнянь, не розв'язаних відносно старшої похідної за часом // Доповіді НАН України. – 1995. – №10. – С.20-23.

Комарницька Леся Іванівна, тел.: 8(244)39462.

Мирошниченко Мар'яна Володимирівна, тел.: 8(244)23842.