Математика
1.
Диференціальні та інтегральні рівняння
Комарницька Л.І., Мирошниченко М.В.
Дрогобицький державний педагогічний
університет імені І.Франка
Багатоточкова задача
для двовимірного аналогу рівняння Соболєва
В області ,
для рівняння
, (1)
де ,
,
– оператор Лапласа, розглядається
задача з умовами
,
,
. (2)
На
просторові змінні ,
накладаються умови
-періодичності.
Нехай (1¢) – відповідне
однорідне рівняння, (2¢) –
відповідні однорідні умови.
Розв'язок задачі (1), (2) шукається у
просторі функцій у вигляді ряду
,
де ,
– розв'язок задачі (1),
(2′),
– розв'язок задачі (1'),
(2);
,
,
,
,
;
– простір функцій
з нормою
;
,
.
Нехай ,
, корені характеристичного рівняння для рівняння (1¢).
Припускається, що вони попарно різні і відмінні від нуля.
Теорема
1. Для єдиності розв'язку задачі (1), (2) в просторі необхідно і достатньо,
щоб виконувались умови:
,
,
.
При виконанні умов єдиності розв'язок
задачі (1), (2) формально зображається у вигляді ряду , (3)
,
,
,
– алгебраїчне
доповнення елемента
у визначнику
.
Теорема 2. Нехай
існують додатні сталі і
,
, такі, що для всіх (крім скінченного числа) векторів
і довільного
,
, виконуються нерівності:
,
(4)
,
, (5)
і нехай , де
і
, де
,
. Тоді існує розв'язок задачі (1), (2) , який належить простору
.
Доводяться теореми метричного характеру
про виконання оцінок (4), (5).
Теорема
3. Для майже всіх (відносно міри Лебега в просторі ) векторів
, де
,
і для довільного
фіксованого вектора
, де
– вектор, складений з
коефіцієнтів рівняння (1), крім коефіцієнтів
і
, оцінка (4) виконується при
для всіх (крім
скінченного числа) векторів
.
Теорема
4. Для майже всіх (відносно міри Лебега в просторі ) векторів
і для довільного
фіксованого вектора
, нерівності (5) виконуються при
для всіх
таких, що
.
Нехай виконуються співвідношення:
,
,
, (6)
тобто умови (2)
фіксують стани процесу, що описується рівнянням (1), через рівні проміжки часу.
Теорема
5. Якщо виконуються співвідношення (6), то для єдиності розв'язку задачі
(1), (2) в просторі необхідно і достатньо,
щоб виконувались умови:
,
,
,
.
При виконанні умов теореми 5 розв'язок
задачі (1), (2) формально зображається у вигляді ряду (3), де
,
,
,
– сума всеможливих
добутків елементів
взятих у кількості
штук,
.
Теорема
6. Нехай існують додатні сталі ,
і
, такі, що для всіх (крім скінченного числа) векторів
і довільного
,
, виконуються нерівності (5) та нерівності
,
,
. (7)
Якщо , де
і
, де
,
, то в просторі
розв'язок задачі (1),
(2) існує.
Теорема
7. Для майже всіх (відносно міри Лебега в просторі ) векторів
,
і для довільного
фіксованого вектора
нерівності (7)
виконуються при
для всіх
таких, що
.
Для рівняння (1) розглядаються також умови
,
,
, (8)
де ,
.
Теорема 8. Для єдиності розв'язку задачі (1), (8) в просторі необхідно і досить,
щоб виконувались умови:
,
,
,
.
Якщо виконуються умови теореми 8, то
розв'язок задачі (1), (8) формально зображається у вигляді ряду
,
,
.
Теорема
9. Нехай існують додатні
сталі ,
,
і
, такі, що для всіх (крім скінченного числа) векторів
і довільного
,
, виконуються нерівності (4), (5) та нерівності
,
, (9)
і нехай , де
. Тоді існує розв'язок задачі (1), (8), який належить
простору
.
Теорема
10. Для майже всіх векторів нерівності (9)
виконуються для всіх
,
, при
.
Література:
1.
Пташник Б.Й., Комарницька Л.І.
Багатоточкова задача для диференціальних рівнянь, не розв'язаних відносно
старшої похідної за часом // Доповіді НАН України. – 1995. – №10. – С.20-23.
Комарницька Леся
Іванівна, тел.: 8(244)39462.
Мирошниченко
Мар'яна Володимирівна, тел.: 8(244)23842.