Шилинец В.А., Берегейко Е.И.,
Ольшевская А.В.
Белорусский государственный педагогический университет
ИССЛЕДОВАНИЕ
КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ИНВАРИАНТНЫХ
ВЕКТОР-АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Функционально-инвариантные
решения некоторых уравнений математической физики изучались многими авторами [1-6].
Как известно [1-4],
функционально-инвариантным решением уравнения
называется такое решение , если произвольная дважды дифференцируемая функция
также является
решением этого уравнения.
Цель нашей статьи −
решение краевой задачи для одного класса функционально-инвариантных
вектор-аналитических функций.
Нам требуются некоторые
определения.
Определение 1. Следуя
Рейниху, называем вектор-функцию (
− комплекснозначные дважды непрерывно
дифференцируемые функции от координат
в некоторой области
) вектор-аналитеческой
[5-7], если
,
. (1)
Если
вектор-аналитической является вектор-функция , то вектор-аналитической будем называть и гиперкомплексную
функцию
, где
− база какой-либо
линейной ассоциативно-коммутативной алгебры с единицей над полем комплексных
чисел.
Система
(1) является некоторым обобщением известной системы Коши-Римана на трехмерное
пространство и частным стационарным случаем системы Максвелла для
электромагнитного поля в пустоте ,
,
,
, если
положить в этой системе
, где
и т. п.
Определение
2. Гиперкомплексная функция
называется моногенной в смысле В.С.
Федорова (- моногенной) [8] по другой гиперкомплексной функции
в некоторой области
, если найдется такая функция
, что для всех точек области
имеем
, (2)
где ;
,
,
.
Определение
3. Вектор-аналитическая функция называется
функционально-инвариантной, если всякая функция
, моногенная в смысле В.С. Федорова по
, будучи записана в виде
, также определяет вектор-аналитическую функцию
, т.е.
,
.
В
настоящей работе мы ограничимся случаем такой алгебры , в которой
,
,
, причем
.
В
работе [9] в случае алгебры доказана теорема.
Теорема 1. Вектор-аналитическая функция будет
функционально-инвариантным решением системы (1), если компоненты
удовлетворяют следующей
системе:
, (3)
,
, (4)
,
. (5)
Рассмотрим следующую краевую задачу.
Задача. Пусть − линейное
относительно
,
,
функционально-инвариантное решение системы
(1), т.е.
,
,
,
,
удовлетворяют системе
(3) - (5).
Полагаем
далее, что и функция
,
- моногенная по
, определены на некоторой замкнутой двумерной поверхности
, гомеоморфной сфере конечного диаметра и достаточно гладкой
для возможности использовать формулу Остроградского (
− внутренность поверхности
).
Требуется найти в любой точке значение функции
, моногенной в смысле В. С. Федорова по
, если известны ее значения на поверхности
.
Для решения сформулированной задачи используем следующее
представление В.С. Федорова [10]: если
1) функция − моногенная в
смысле В.С. Федорова по
в области
;
2) ,
,
, (Ф)
то для каждой точки
имеем
, (6)
где под знаком интеграла , точка
,
− направляющие
косинусы внешней нормали к
,
,
,
.
Чтобы
использовать формулу (6) для решения сформулированной задачи, необходимо найти
линейную функционально-инвариантную вектор-аналитическую функцию,
удовлетворяющую условиям (Ф), т.е. условиям
В. С. Федорова.
Имеем ,
. Функцию
определим из равенства
(3). Подставив
в (4) и (5), получим
систему
,
,
,
.
Считая
произвольными
константами, находим
,
,
,
причем
удовлетворяют условию
.
Таким
образом, получаем
,
,
,
.
можно задавать
произвольно, требуя только выполнение условия
.
Пусть ,
,
,
тогда
,
.
Таким
образом, получили функционально-инвариантную вектор-аналитическую функцию
, (7)
и функционально-инвариантными
вектор-аналитическими окажутся, например, функции ,
в силу их
- моногенности по
.
Легко проверить, что функционально-инвариантная
вектор-аналитическая функция (7) удовлетворяет условиям Федорова (Ф), и для
функции , моногенной по
, имеет место интегральное представление (6), при помощи
которого и решается сформулированная выше краевая задача.
Литература
1. Соболев С.Л.
Функционально-инвариантные решения волнового уравнения // Тр. физ.-мат. ин-та
АН СССР, 1934. − Вып.5. − С. 117-128.
2. Смирнов В.И. Курс высшей математики.
−М., 1957. − Т. 3. − Ч. 2. − С. 196-204.
3. Еругин Н.П.
Функционально-инвариантные решения уравнений гиперболического типа с двумя
неизвестными переменными // Уч. зап. ЛГУ. Сер. мат. наук, 1949. − Вып. 16.
− С. 142-166.
4. Смирнов М.М.
Функционально-инвариантные решения волнового уравнения // Докл. АН СССР, 1949.
− Т. 67. − №6. − С. 977-980.
5.
Стельмашук
Н.Т., Шилинец В.А. Об интегральном представлении функционально-инвариантных
вектор-аналитических функций // Весці НАН Беларусі. Сер. фіз.-мат.
навук, 2006. − №1. − С. 44-47.
6.
Стэльмашук М.Т., Шылінец У.А. Аб адной
краявой задачы для функцыянальна-інварыянтных вектар-аналітычных функцый // Весці
БДПУ, 1995. − №1. − С.85-88.
7.
Reinich G.Y. Analitic functions and math. physics // Bull. Amer. Math. Soc., 1931.
− Vol. 37. − P.
689-714.
8. Федоров
В.С. Основные свойства
обобщенных моногенных функций // Изв. вузов. Математика, 1958. − №6. − С. 257-265.
9. Стельмашук
Н.Т. О вектор-аналитических функционально-инвариантных функциях // Тез. докл.
итоговой науч.-техн. конф. Ивановского энергетического ин-та им. В.И. Ленина,
1967. − С. 35.
10. Федоров В.С. Об одном
обобщении интеграла типа Коши в многомерном пространстве // Изв. вузов. Математика, 1957. − №1. − С. 227-233.