ИЗОМОРФИЗМ
КЛАССОВ БЕСОВА
НА ДВОИЧНОЙ
ГРУППЕ.
Бокаев Нуржан Адилханович, г. Астана, ЕНУ;
Игенберлина Алуа Еркиновна, г.
Караганда, КарГТУ.
Для классических пространств
Бесова понятия нулевых классов , изоморфизмы
для разных
, были установлены в работах Кальдерона, Ароншайна,
Тэйблсона, Никольского. Предложенная в данной работе теорема
дает представление функций класса
через свертку ядра
с функциями класса
на двоичной группе.
Классическая
система функций Уолша на полуинтервале [0,1) определяется следующим образом. Рассмотрим так называемую
систему функций Радемахера
:
,
-всевозможные сжатия функции
, продолженной
периодически на всю ось, в раз. Положим
Чтобы определить
для
, представим натуральное число
в двоичном виде
,
где или 1,
. Тогда положим
.
Полуинтервалы вида:
будем называть двоичными интервалами го ранга. Они задают разбиение полуинтервала
:
,
при этом . Произвольный интервал ранга
обозначим через
.
Через oбозначим
ядро Дирихле по системе
.
Пусть. Рассмотрим ряд Фурье-Уолша функции
~
где -коэффициенты Фурье-Уолша.
Прямоугольные
частичные суммы ряда Фурье-Уолша порядка обозначим:
Пусть - семейство функций
на
таких, что
,
,
где- характеристическая
функция множества
.
Пусть .
Через
обозначим множество
функций для которых
,
где * есть двоичная свертка:
.
Такое множество назовем
пространством Бесова на двоичной группе .
Пусть
Назовем сверткой двух функций
ряд
.
Введем следующий специальный ряд:
,
где старший показатель в двоичном разложении
…,
.
Рассмотрим оператор
и назовем его ядром.
Определение 1. Функция называется регулярной
в смысле
,
, если для некоторого
.
Определение 2. Пусть .
Будем говорить, что
принадлежит нулевому
классу
, если
регулярна в смысле
и её ряд Фурье-Уолша таков, что
.
Теорема. Пусть . Оператор
,
осуществляет изоморфизм
.
Доказательство: Пусть, тогда, регулярная в смысле
, функция представима в виде:
,
(1)
где
.
Докажем, что . Согласно регулярности в смысле
, функция
разлагается в ряд
. (2)
Из
определения оператора
.
Тогда
.
Далее
.
Следовательно
.
И обратно, пусть , для которого верно разложение (2) и
.
Для существует разложение
(1) и
.
Следовательно
.