Мельник В.Н., Карачун В.В.

Национальный технический университет Украины «КПИ»

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОПЛАВКОВОГО ПОДВЕСА ГИРОСКОПА

Предположим, что оболочка поплавка относится к криволинейным ортогональным координатам и . Их считаем линиями кривизны с радиусом и .

Обозначим через А₁ и А₂ параметры Ламе срединной поверхности оболочки. Тогда, добавив силы инерции, можем воспользоваться уравнениями равновесия оболочки, которые в развернутом виде записываются следующим образом:

, (1)

где

ибо в большинстве случаев величины m_i имеют порядок hp, так что, отождествляя q_i и p_i, тем самым отбрасываются слагаемые порядка по сравнению с единицей; Т₁ , Т₂ – нормальные, а S – касательное усилия; М₁, М₂ – изгибающие моменты; H – крутящий момент; - плотность материала оболочки; h –толщина оболочки; - упругие перемещения точек поверхности в направлении координаты .

В представленном виде уравнения (1) использовать неудобно. Поэтому следует провести над ними ряд преобразований, после которых записать в форме, преемлемой для интегрирования.

Соотношения между усилиями-моментами и компонентами деформации срединной поверхности можно записать в виде:

(2)

(3)

(4)

Здесь первые три величины - - характеризуют равномерную по толщине оболочки деформацию, определяемую растяжением и сдвигом срединной поверхности, а вторые три - - определяют линейно меняющуюся по толщине деформацию, связанную с изгибом и скручиванием срединной поверхности, - модуль Юнга, - коэффициент Пуассона. В дальнейшем, первые три величины будем именовать компонентами тангенциальной деформации, а последние три - компонентами изгибной деформации.

Деформация оболочки полностью определяется заданием шести указанных величин:

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

Из соотношений (2 - 3), с учетом выражений (5 - 7), определяем нормальные Т₁ , Т₂ и касательное S – усилия:

(11)

(12)

(13)

С учетом соотношений (8 – 10), из формулы (4) вычисляем изгибающие моменты М₁ и М₂, а также крутящий момент H:

(14)

(15)

(16)

Подставив найденные значения в выражения (1), получаем линейные дифференциальные уравнения поплавкового подвеса гироскопа произвольного очертания линии меридиана оболочечной части