Математика / 4. Прикладная математика

Зычкова Е.Э., Мотайло А.П., Тулученко Г.Я., Хомченко А.Н.

Херсонский национальный технический университет, Украина

Геометрический подход к построению базиса икосаэдра:

комбинация однополостного гиперболоида и плоскости

Постановка проблемы. Интерполяция функций трех переменных по значениям в узлах, расположенных в вершинах правильных многогранников, часто является вспомогательной задачей при разработке эффективных вычислительных алгоритмов решения прикладных задач. Построение наборов базисных функций для фигур (тел), имеющих "избыточную" симметричность, с помощью стандартных подходов часто не имеет успеха [1].

Анализ предшествующих публикаций. В работе [2] построен полиномиальный базис икосаэдра на основе гармонических поверхностей вращения третьего порядка. Несмотря на полученные положительные оценки его аппроксимационных свойств, аналитические выражения базисных функций являются чрезвычайно громоздкими для практического применения. Поэтому является целесообразным поиск базисных функций икосаэдра другой структуры (приводящей к более компактным выражениям) при сохранении положительных локальных характеристик у нового базиса.

Цель публикации. Построить базис икосаэдра на основе комбинации поверхности вращения второго порядка и плоскости. Вычислить локальные характеристики этого базиса.

Основная часть. Симметричное расположение вершин икосаэдра (рис. 1) предопределяет при построении базиса использование поверхностей вращения второго порядка. Как известно, уравнения этих поверхностей максимально упрощаются, когда имеющиеся оси симметрии поверхности совпадают с осями системы координат. Поэтому для рассмотрения примера построения базисной функции наиболее удобной является базисная функция для узла икосаэдра, вписанного в сферу единичного радиуса (рис. 1).

Уравнение базисной функции в выбранной системе будем строить как произведение уравнения поверхности вращения второго порядка и уравнения плоскости :

,		(1)
. Рис. 1. Икосаэдр	где коэффициенты находятся из системы:
			(2)

Первые три уравнения системы (2) отражают традиционные требования к базисной функции. Требование для узла с координатами выполняется автоматически за счет присутствия множителя . Как отмечалось в [2], две группы узлов и расположены на окружностях, поэтому подстановка в уравнение (1) координат этих узлов приводит к появлению двух линейно независимых уравнений (по одному для каждой группы). Четвертое уравнение обусловлено симметричной структурой икосаэдра.

В результате решения системы (2) для функции (1) и выполнения серии преобразований (вращений) получаем базис икосаэдра как комбинацию уравнений однополостного гиперболоида и плоскости, перпендикулярной оси симметрии гиперболоида:

Обратим внимание на тот факт, что полученные уравнения однополостных гиперболоидов являются гармоническими функциями. Графики поверхностей уровня для нескольких значений базисной функции представлены в табл. 1.

Выводы и перспективы дальнейших исследований. Для построенного базиса вычислены локальные характеристики: определитель матрицы Грама – и число обусловленности матрицы Грама в норме метрики – . Последняя характеристика мало отличается от аналогичной характеристики базиса, построенного в работе [2].

Таблица 1

Поверхности уровня базисной функции

С точки зрения авторов, это объясняется структурой уравнений полученных базисных функций. Уравнения представляют собой произведения двух гармонических функций: уравнения второго порядка (однополостного гиперболоида) и уравнения первого порядка (плоскости).

Учитывая значительно более компактный вид полученных базисных функций по сравнению с базисными функциями, построенными в [2] на основе гармонических поверхностей вращения третьего порядка, новый базис имеет большие перспективы для практического использования.

Литература

1. Березин И.С. Методы вычислений. Т. 1 / И.С. Березин, Н.П. Жидков. — М.: Наука, 1966. — 632 с.

2. Зычкова Е.Э. Гармонический базис икосаэдра на основе поверхностей вращения [Электронный ресурс] / Е.Э. Зычкова, А.П. Мотайло, Г.Я. Тулученко, А.Н. Хомченко // Материалы II Международной научно-практической конференции "Наука: теория и практика". Серия: Математика: Прикладная математика (7-15 августа 2011 г.). – Пшемысль, Польша: Sp. z o.o. "Nauka I studia", 2011. – Т. 9. – С. 67–73. — Режим доступа: http://www.rusnauka.com/Page_ru.htm.