АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СУММ СЛУЧАЙНЫХ ОТКЛОНЕНИЙ В МОМЕНТ НАСТУПЛЕНИЯ РЕДКОГО СОБЫТИЯ

Харьковский национальный автомобильно-дорожный университет (ХАДИ)

Макаричев А.В.

Пусть - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевым математическим ожиданием и конечной дисперсией , . Обозначим

.

Пусть число слагаемых - случайная величина равная с вероятностью ,, , . Обозначим сумму случайных отклонений в момент наступления некоторого события, вероятность наступления которого равна .

ТЕОРЕМА. При

.

Доказательство. Пусть - характеристическая функция для случайного отклонения , . Найдем характеристическую функцию для случайной величины

.

Изучим асимптотическое поведение характеристической функции случайной величины . Имеем

когда . Следовательно, когда характеристическая функция случайной величины стремится к характеристической функции случайной величины , имеющей двустороннее показательное распределение с плотностью . В силу обратной предельной теоремы для последовательностей функций распределения и последовательностей их характеристических функций при

для любого , что и требовалось доказать. Теорема доказана.

Исходя из этой теоремы, при малых значениях можно приближенно вычислять вероятность для любого .

Литература.

1. Соловьев А.Д. Асимптотическое поведение момента наступления редкого события в регенерирующем процессе. Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1971, № 6, с. 79-89.

2. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей, М., Наука, 1988.