12rusnauka11
к.ф.-м.н. И.А. Долгарев, к.ф.-м.н. А.И. Долгарев
НЕОДНОРОДНСТЬ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ
СОСТАВЛЯЮЩЕЙ
ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ
В работе указаны некоторые неоднородные пространства. Установлено, что неоднородны 3-мерные евклидовы подпространства псевдоевклидова и галилеева пространства-времени.
Неоднородность псевдоевклидова
пространства-времени тривиальна. Если псевдоевклидово
пространство размерности 4 индекса 1, то его временная составляющая 1-мерна,
пространственная составляющая 3-мерна и евклидова. Не существует движений
пространства-времени, в которых временное направление заменялось бы
пространственным и движений с обратным свойством. Это и есть очевидное свойство
неоднородности пространства-времени. Пространство
обладает и другими
свойствами неоднородности. Упомянутые свойства подробно обоснованы П.К.
Рашевским в [1], однако П.К. Рашевский изучает свойства псевдоевклидовых
движений, их структуру, и не останавливается на попутно полученной неоднородности
пространства-времени. Временная составляющая пространства-времени неинвариантна
в движениях пространства-времени. Пространственная составляющая неоднородна,
хотя и является 3-мерным евклидовым пространством. Ниже в результатах П.К.
Рашевского выделена неоднородность евклидовой составляющей псевдоевклидова
пространства-времени.
Пространство-время Галилея является
предельным случаем псевдоевклидова пространства-времени при условии, что
скорости событий малы по сравнению со скоростью света. Поэтому и пространственная
составляющая пространства Галилея
неоднородна.
В работе указаны некоторые неоднородные
пространства (аффинные, евклидовы). Выявлена неоднородность 3-мерных евклидовых
подпространств псевдоевклидова и галилеева пространства-времени.
1. Аффинные геометрии
1.1. Однородная аффинная геометрия
Пусть
есть действительное линейное пространство аффинного
пространства
, в котором выбран репер
=
. Базисом линейного пространства
является
=
. Определяя в
скалярное произведение
векторов, превращаем аффинное пространство в одно из евклидовых пространств.
Аффинные преобразования и движения евклидовых пространств изучаются в [1]. Эти
преобразования можно задать указав, на какой репер
отображается репер
. Выбор репера
на свойствах преобразований
не отражается. Если в репере
:
,
= =
,
, то матрица преобразования имеет вид:
,
,
.
Репер
может быть
произвольным. В этом состоит свойство однородности
аффинного пространства. Аффинные преобразования пространства
составляют группу.
Согласно Эрлангенской программе Ф. Клейна, аффинная геометрия изучает
инварианты группы аффинных преобразований.
1.2. Неоднородные аффинные геометрии
В аффинной геометрии можно выделять и
неоднородные теории. Можно, например, рассматривать аффинные преобразования
пространства , в которых направление
инвариантно (
есть линейная оболочка вектора
). Это означает, что векторы из
отображаются на
векторы из
и на векторы из
никакие другие
векторы из
не отображаются,
кроме векторов из
. Матрицы указанных преобразований:
,
,
,
.
При
этом оказывается, что и 3-мерное направление инвариантно в преобразованиях
с матрицами
.
Преобразования рассматриваемого вида
составляют группу, обозначим ее . Говорим, что группа
стабилизирует
направление
и стабилизирует
направление
. В геометрии, изучающей инварианты группы
преобразований
, направление
(и направление
) инвариантно, это направление не отображается преобразованиями
группы
ни на какое другое
1-мерное направление в пространстве
. Таким образом, аффинная геометрия, изучающая инварианты
группы
, неоднородна.
Нетрудно указать и другие виды
неоднородных аффинных геометрий. Например, геометрия пространства, в котором
стабилизируется направление , оно стабилизируется преобразованиями с матрицами вида
,
,
.
2. Евклидовы геометрии
2.1. Однородная евклидова геометрия
В
линейном пространстве аффинного пространства
может быть введено
собственноевклидово скалярное произведение векторов. Пусть в базисе
=
заданы векторы
и
. Их скалярным произведением называется число
.
Это
скалярное произведение называется собственноевклидовым. Скалярный квадрат
вектора равен
;
норма
вектора определяется из
и вычисляется по формуле
.
В
результате линейное пространство становится собственно
евклидовым и обозначается
=
. Аффинное пространство
превращается в евклидово
пространство
.
Свойства евклидова векторного
пространства можно найти, например, в [2]. Заметим, что в общем случае
скалярное произведение векторов задается матрицей Грама.
Движения евклидова пространства задаются галилеевой
матрицей вида
из п. 1.1 с условием
. При этом всякое направление
,
, т.е. 1-мерное подпространство пространства
, отображается в его движениях на всякое направление
пространства
. Указанное свойство пространства
является свойством
его однородности.
2.2. Неоднородные евклидовы геометрии
Движения евклидова пространства с
матрицами вида из п. 1.2 с условием
ведут к неоднородному евклидову пространству. Его
геометрия определяется группой движений
(смысл обозначения в
п. 1.2).
Движения евклидова пространства с
матрицами вида и условием
,
определяют
неоднородную евклидову геометрию с другими свойствами.
3. Псевдоевклидово пространство
3.1. Псевдоевклидово пространство индекса
1
В базисе линейного пространства
определено следующее
псевдоевклидово скалярное произведение векторов
и
:
.
Линейное
пространство становится
псевдоевклидовым индекса 1 векторным пространством
, аффинное пространство
превращается в псевдоевклидово
пространство индекса 1, обозначаемое
. Псевдоевклидов скалярный квадрат вектора
равен
.
Для
векторов базиса выполняются
равенства:
,
,
. Репер
является
ортонормированным. Для вектора
компонента
называется временной,
компоненты
называются пространственными.
Пространственная составляющая пространства-времени
состоит из событий
и является 3-мерным
собственноевклидовым пространством
. Всякое событие
пространства-времени
содержится в единственной
евклидовой гиперплоскости
, содержащей только одновременные события
.
Любой вектор ,
, является временным. Имеем сумму
=
, где
=
, но это не инвариантная в движениях сумма. Как выяснится
ниже, п. 3.3, теорема 4,
тоже не инвариантная
в псевдоевклидовых движениях сумма подпространств.
3.2. Движения псевдоевклидова пространства
Движением псевдоевклидова пространства является его аффинное
преобразование, в котором инвариантно псевдоевклидово скалярное произведение
векторов. Множество всех псевдоевклидовых движений является группой
относительно композиции преобразований. Движение пространства-времени
задается двумя
реперами
. Репер
может быть зафиксирован.
Поэтому о движении (и об аффинном преобразовании) можно говорить как о преобразовании
репера
в репер
(последний термин
используется в [1]).
Обозначим движение пространства через
, считаем, что
есть преобразование
репера
в репер
, можно считать
. Пусть в
гиперплоскость
=
отображается на гиперплоскость
=
. Если
=
, то
есть «тривиальное»
евклидово вращение (как пишет П.К. Рашевский). В этом случае
. Если
, то пересечение
2-мерно, имеем
=
, [1, c. 200]. С
точностью до «тривиальных» вращений плоскости
, выполняются равенства
,
. (1)
(В
[1] это соотношения (48.10), с. 200). Эти «тривиальные» вращения плоскости описываются равенствами:
. (2)
Плоскости
,
совпадают, [1, c.200], поэтому, в движении псевдоевклидовой плоскости,
,
. (3)
Это
соотношения (48.11) в [1, c.200]. В
завершение описания движения из [1, c. 198 – 201] приведем цитату.
«В
результате всякое преобразование ортонормированного репера с точностью до тривиальных вращений и параллельного сдвига сводится к
преобразованию (48.10), (48.11).» У нас это (1) и (3).
С точностью до (2) и (3) матрица
движения есть
, где
,
,
,
,
.
Выписанная
матрица охватывает матрицы параллельных сдвигов и матрицы всех тривиальных
вращений евклидовых пространств и
.
3.3. Неоднородность пространственной
составляющей
Приведенная выше цитата из [1, c.201] есть невыделенная в тексте книги основная
теорема П.К. Рашевского о движениях псевдоеклидова пространства . Этим описывается и неоднородность пространственной составляющей пространства
, на что указывает матрица преобразования
.
Вместе с основной теоремой П.К.
Рашевского о движениях псевдоевклидова пространства, справедливы следующие
утверждения, тоже не приведенные в [1].
Теорема
1. Евклидова плоскость , как пересечение
евклидовых гиперплоскостей
=
и
=
, инвариантна в
псевдоевклидовых движениях.
# Можно предположить, что исходный
репер не содержит векторов , а содержит
. Имеем репер
=
в качестве исходного.
Рассматриваем преобразование репера
в репер
. При этом получаем, как в [1, c. 200], пересечение подпространств
и
(или после
параллельного переноса
, пересечение гиперплоскостей
и
). Это пересечение, по основной теореме Рашевского, является плоскостью
. В преобразовании репера
в репер
пересечение
есть
.
Инвариантное направление в
единственно. Оно
стабилизируется группой движений, матрицы которых есть
. #
Приходится говорить о 3-мерном
евклидовом направлении пространственной составляющей пространства-времени ; через каждую точку пространства-времени
проходит единственная
евклидова гиперплоскость с векторным пространством
. При движении точки
в пространстве
гиперплоскость
движется параллельно
сама себе.
Теорема
2. Движения псевдоевклидова
пространства-времени стабилизируют 2-мерное направление
пространственной составляющей пространства-времени
.
# Матрицы движений
пространства-времени содержат ненулевые блоки
=
,
=
с
ненулевыми определителями и блоки
,
,
состоящие
из нулей. Таким образом, направление в
стабили-зируется движениями
пространства
. Стабилизируется это направление и в подпространстве
=
. #
Теорема
3. Псевдоевклидово пространство-время
является прямой суммой псевдоевклидовой плоскости и евклидовой плоскости; эти
подпространства инвариантны в псевдоевклидовых движениях.
# Движения пространства отображают каждое из 2-мерных направлений
,
само в себя. #
Вместе с тем выполняется
Теорема
4. 1-мерная временная составляющая
пространства
не инвариантна в псевдоевклидовых движениях, т.е. разложение пространства-времени
на временную и пространственную составляющие не инвариантно в
псевдоевклидовых движениях.
# По виду матриц псевдоевклидовых
движений, движения пространства-времени
не стабилизируют
направления
. #
Как алгебраическая структура, векторное
пространство есть прямая сумма
+
. Но эта прямая сумма не инвариантна в автоморфизмах
структуры
, в которых инвариантно псевдоевклидово скалярное
произведение векторов.
Утверждения настоящего п. 3.3 являются
уточнениями основной теоремы П.К. Рашевского о движениях псевдоевклидова
пространства .
4. Пространство-время Галилея
4.1. Геометрия Галилея
В линейном пространстве аффинного пространства
определим галилеево
скалярное произведение векторов. Для векторов
и
полагаем по
определению:
Линейное
пространство превращается в галилеево векторное пространство
, аффинное пространство
становится пространством
Галилея
. Галилеево скалярное произведение векторов определено в [3],
оно определено не одним равенством, как евклидово и псевдоевклидово скалярные
произведения векторов, а двумя равенствами. Такое скалярное произведение векторов,
согласно Б.А. Розенфельду, относится к квазискалярным произведениям, (в [4, c. 41] говориться о квазинормах, квазискалярные
произведения не рассматриваются.) Галилеева норма векторов, т.е. квазинорма,
такова:
Определение
галилеева расстояния между точками можно найти в математической энциклопедии.
По аналогии с терминологией в
псевдоевклидовой геометрии вводится галилеева терминология. Векторы ,
, называются временными, векторы
называются евклидовыми
или пространственными.
есть
пространство-время. Точки из
называются еще событиями.
Для значения
имеется множество
событий
, одновременных с событием
; это множество событий представляет собой 3-мерное евклидово
пространство
– подпространство пространства-времени
Галилея
. В каждый фиксированный момент времени имеется
пространственная составляющая
пространства-времени
.
4.2. Преобразования Галилея
Геометрической основой принципа
относительности А. Эйнштейна является псевдоевклидова геометрия, а
геометрической основой принципа относительности Галилея является геометрия
Галилея. Фундаментальное рассмотрение вопросов псевдоевклидовой геометрии
имеется в книге [1]. 3-мерная геометрия Галилея изложена в [3], некоторые вопросы
4-мерной геометрии Галилея содержатся в [5] и других работах авторов.
Преобразования Лоренца, т.е. движения псевдоевклидова пространства,
анализируются в [1]. Формулы Лоренца:
,
. (4)
В
(3) . При малых значениях скоростей
по сравнению со
скоростью света
, величина
. А в этом случае Лоренцева механика заменяется классической
механикой Галилея-Ньютона. Геометрия Галилея является предельным случаем
псевдоевклидовой геометрии. При малых скоростях
по сравнению со
скоростью света
движений материальных
объектов формулы (4) превращаются в формулы Галилея:
,
. (5)
4.3. Пространственная составляющая
пространства-времени Галилея
Событие пространства-времени Галилея имеет временную составляющую
и пространственную
составляющую
. В фиксированный момент времени множество всех событий есть
евклидово пространство
. В движениях пространства-времени
, см. (5), компоненты
и
связаны между собой, компоненты
не зависят от
изменения компонент
и
.
Пространство-время имеет своим векторным
пространством
=
с галилеевым
скалярным произведением векторов. Согласно (5) выделяются направления
=
и
=
, первое из них галилеево, второе собственно евклидово. В
указанные направления
определяют пучки параллельных плоскостей: плоскостей Галилея
с векторным
пространством
и евклидовых
плоскостей
с векторным пространством
. Таким образом, справедлива
Теорема
5. Пространственная составляющая
пространства-времени Галилея неоднородна. Пространство-время Галилея
является прямой суммой плоскости Галилея и евклидовой плоскости
=
.
Указанные прямые слагаемые инвариантны в
галилеевых преобразованиях.
4.4. Следствия неоднородности
пространственной составляющей
По теореме 5, основанной на формулах
Галилея (5), пространственная составляющая пространства-времени Галилея является множеством событий
вида
, обладает 2-мерным инвариантным в галилеевых преобразованиях
направлением
; в указанном множестве событий это подмножество событий вида
. Формулы преобразований Галилея (5) характеризуют
подвижность пространства-времени Галилея. Подвижность ограничена ввиду
неоднородности пространства-времени.
Неоднородность пространства-времени
состоит в том, что
во-первых: преобразованиями Галилея временное направление отображается
только на временное направление и не отображается ни на какое пространственное
направление и никакое пространственное направление в пространстве-времени
Галилея не отображается на временное направление;
во-вторых: в пространстве Галилея галилеева плоскость , имеющая направление
, отображается только на галилееву плоскость
с направлением
(возможны галилеевы
плоскости с различными направлениями, например, еще
), евклидова плоскость
отображается на
евклидову плоскость
, т.е. направление
отображается на направление
;
в-третьих: существует единственное пространственное направление
, инвариантное в преобразованиях Галилея, что означает
справедливость следующего утверждения.
6. Теорема. Всякая подвижная система отсчета в
пространстве-времени Галилея движется только в инвариантном направлении
.
В этом состоит подвижность (ограничение
подвижности) пространства-времени Галилея.
4.5. Следствия увеличения подвижности
Если предположить пространство-время
Галилея более подвижным, то это влечет и изменение неоднородности
пространства-времени. Согласно теореме 6, вектор скорости движения подвижной
системы отсчета коллинеарен инвариантному направлению пространства-времени
и может быть записан в виде
. Система отсчета движется в случае
.
В статье А.З. Петрова в математической
энциклопедии приведены следующие формулы галилеева преобразования (с точностью
до обозначений):
,
,
,
, (6)
[6,
c. 844]. Здесь есть вектор скорости
движения подвижной системы отсчета
относительно неподвижной. Формулы Петрова (6) отличаются от общепринятых формул
(5) в двух последних компонентах. Согласно п. 2.2, в общем случае компоненты
и
могут быть связаны на
основе формул (2), но через временную
компоненту они не выражаются. Похоже, что формулы (6) написаны в предположении
однородности пространственной составляющей пространства-времени Галилея.
Покажем противоречивость формул (6).
7. Теорема. Из формул
Петрова (6) следует противоречивость пространства-времени Галилея.
# Из последнего равенства в (6):
.
Подставляя
это значение во все равенства в (6), находим:
.
Последняя
компонента не изменяется, что естественно. Временная компонента оказалась
выраженной только через пространственные компоненты, что невозможно. Таким образом,
в формулах преобразований Галилея должно быть не более одной пространственной
компоненты, которая выражается через временную компоненту, см. (5). #
Итак, помимо тривиальной неоднородности
пространства-времени в результате изучения допустимых преобразований
пространства-времени выявляется ограничение подвижности и, более того,
неоднородность евклидовой составляющей пространства-времени как пространств СТО
и ОТО, так и пространства Галилея. Подвижность евклидова пространства,
рассматриваемого независимо, отличается от его подвижности, если оно включено в
другое пространство с некоторой спецификой, в частности, если оно является частью
пространства-времени.
Использованная литература
1.
Рашевский
П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. - М.: Наука, 1967. - 664с.
2.
Кострикин
А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия,- 2-ое изд.,
перераб.
- М.: Наука, 1986, - 304 с.
3.
Долгарев
А.И. Классические методы в
дифференциальной геометрии одулярных пространств. Монография. – Пенза: ИИЦ ПГУ,
2005.- 306с.
4. Розенфельд Б.А., Замаховский М.П. Геометрия групп Ли. Симметрические, параболические и периодические пространства. – М.: МЦНМО, 2003. - 560с.
5.
Долгарев
А.И., Долгарев И.А. Кривые 4-мерного
пространства-времени Галилея. // Известия высших учебных заведений. Поволжский
регион. Физико-математические науки, Пенза: ИИЦ ПГУ, 2007, № 3, с. 2 – 11.
6.
Математическая
энциклопедия. Т. 1. – М.: Советская энциклопедия, 1977. – 1152 с.