Математика / 5. Математическое моделирование

Астионенко И.А.

Херсонский национальный технический университет, Украина

Конструирование суперпараметрических полиномов

на элементах серендипова семейства

Одна из проблем при численном решении дифференциальных уравнений – возможности метода аппроксимации функций. С 60-х годов ХХ века активно развивается один из методов аппроксимации базисными функциями – метод конечных элементов (МКЭ). В результате модификации конечных элементов лагранжева семейства путем исключения внутренних узлов в 1968 г. Эргатудисом, Айронсом и Зенкевичем были получены изопараметрические конечные элементы, названные впоследствии серендиповыми конечными элементами (СКЭ) [1, 2]. Применение этих элементов облегчает получение более точной аппроксимации решения поставленной задачи. Увеличение точности может быть достигнуто измельчением сетки при использовании простейших конечных элементов (что увеличивает вычислительные затраты), либо повышением степени базисных функций при фиксированной сетке (что часто более эффективно). Однако СКЭ высших порядков обладают рядом недостатков – противоестественное поузловое распределение равномерной массовой силы, избыточность кратных нулей в узлах на границе КЭ.

Рассмотрим бикубический СКЭ: это квадрат размером 2х2, на границе которого регулярно расположены 12 узлов (рис.1). Стандартный интерполяционный полином этого элемента имеет 12 параметров:

(1)

Это неполный полином четвертой степени, элементы которого симметрично расположены в треугольнике Паскаля (рис. 2).

Рис. 1. Бикубический СКЭ		Рис. 2. Элементы треугольника Паскаля для стандартного полинома СКЭ-12

Стандартные (изопараметрические) функции формы этого элемента можно найти, например, с помощью метода обратной матрицы [1]:

, ; .

(2)

, ; , .

(3)

, ; , .

(4)

Полученные базисные функции обладают следующими свойствами (условия типа Лагранжа):

,

(5)

где − символ Кронекера, − номер функции, − номер узла;

.

(6)

Кроме того, функции формы обеспечивают непрерывность на границе: если узел принадлежит конкретной стороне квадрата, то функция вдоль этой стороны изменяется по закону кубической параболы (4 узла). В модели (2)-(4) угловое значение в поузловом распределении равномерной массовой силы . Избавиться от этого недостатка (и от избыточных кратных нулей в узлах) можно с помощью дополнительных, “внеузловых” параметров, добавив в полиноме (1) еще одно или несколько слагаемых. Назовем такие интерполяционные полиномы “суперпараметрическими”. Для построения таких полиномов ранее было предложено несколько способов [3-5]. В данной работе предлагается метод получения бесчисленного множества функций формы для СКЭ-12 с количеством параметров от 12 до 16, что позволяет существенно менять свойства интерполяционного полинома.

Применим комбинированный алгебро-геометрический подход, предложенный в [6], с усовершенствованием, которое дает возможность управлять поузловым распределением равномерной массовой силы.

Для получения 13-параметрического полинома, не нарушая условия изменения функции формы вдоль стороны квадрата по закону кубической параболы, можно представить и в виде:

;

(7)

.

(8)

Неизвестные коэффициенты найдем, решив систему, составленную с помощью (5) (− номер узла):