Айтчанов Б.Х.
Республика Казахстан,Казахский национальный технический университет

СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ФОРМЕ ЛАНЖЕВЕНА В ОПИСАНИИ ЧАСТОТНО-ИМПУЛЬСНЫХ УПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ

 

Перспективным направлением исследования информационно-управляющих  систем является анализ и синтез таких систем на базе модели их в виде стохастических дифференциальных урав­нений в форме Ланжевена. Для этой цели могут быть использованы эквивалентные и мажорирую­щие стохастические динамические частотно-импульсные управляющие  системы (ДЧИУС).

В эквивалентной стохастической ДЧИУС уравнение приведенной непрерывной части ПНЧ, полученное путём объединения уравнений непрерывной части вида, формозадающего фильтра и дифференцирующего звена с передаточной функцией , имеет вид [1]

           ,                 (1)  

где - коррелированные белые шумы с характеристиками

                                                         (2)

–дифференциальный нелинейный оператор со случайными коэффи­циентами, представляемый как

                             (3)

где – дифференциальный оператор с постоянными параметрами; –дифференциальный оператор со случайными параметрами.

Пусть оператор Н (1) приведенной непрерывной части имеет вид

                

                              .                                                     (4)

 В частных случаях они могут принимать следующие формы:

                                                    (5)   

                                                                (6) 

где    – аналитическая нелинейная функция.

                                                                                          (7)

где  – аналитическая нелинейная функция; белый шум  не зависит от     и имеет характеристики

                                      ,                                    (8)

             (9)

Непрерывная часть системы, содержащей объект управления с запаздыванием,  описывается дифференциально-разностными уравнениями вида

                             ,                                                      (10)

                              ,                                                            (11)

где  - время запаздывания объекта управления,  , и  -  соответственно вещественные постоянные матрицы размерности ,  , .

Объект с  запаздыванием,  функционирующий  согласно  (10) и (11), используя метод динамической компенсации запаздываний [2]­ можно представить в следующем виде

                                      ,                                                           (12)

                                          ,                                                               (13)

где ,  - фундаментальная матрица системы при значении .

Тогда, учитывая (7), (8) и  (12), (13), получим уравнение ПНЧ:

(14)  

В векторно-матричной форме уравнение (14) записывается в виде

          ,          (15)

где 

, ,

  .

    Пусть динамический частотно-импульсный модулятор ДЧИМ характеризуется постоянным порогом, полным сбросом и линейным фильтром с m-простыми полюсами.

В этом случае поведение блока сброса БС описывается уравнениями

              ,,                                                 (16)

где      

                      ,     ,

                       ,                         ,      ,

                 .

С учетом  описания  динамики  объекта c запаздыванием  в виде (15), сигнал  можно формировать в виде

                                               ,                                 (17)

где    , – единичная матрица размерности .

  Тогда, окончательно, поведение блока сброса (16) с учетом (17) описывается уравнениями

                      ,.                                (18)   

  Блок формирования импульсов БФИ [1] описывается урав­нениями

                                                                                                (19)

                                                                                    (20) 

где

                   

Объединяя уравнения БС (18) и БФИ (19), (20) после элементарных преобразований получим уравнение динамического частотно-импульсного модулятора

                                                                  (21)  

                  ,                                                                                  (22)

                                                                                                 (23)                       

где

                                                                                                  (24)

Объединяя уравнения ДЧИМ (21) - (23), включенного в контур управления объектами с запаздыванием и ПНЧ (15), по­лучим стохастические нелинейные дифференциальные уравнения в форме Ланжевена для эквивалентной стохастической динамической частотно-импульсной управляющей  системы:

                         (25)

                                                                         (26)

                                                                      (27)

где   

                                                                               (28)  

Поступая аналогичным образом, для мажорирующей стохастической динамической частотно-импульсной управляющей  системы [3] можно получить стохастические дифференциальные уравнения в форме Ланжевена в следующем виде:

                                        (29)

                                                                               (30)

                                                                (31) 

Сопоставление полученных моделей эквивалентной (25) - (27) и мажорирующей (29)-(31)  стохастической динамической частотно-импульсной -управляющей  системы показывает, что в модели мажорирующей системы (29)-(31)  отсутствует сложная векторная нелинейность (28). Вместе с тем в модели ма­жорирующей системы присутствует дополнительный белый шум , интенсивность  которого зависит от свойств модулятора и про­цесса ошибки [3].

 

Литература:

1. Айтчанов Б.Х. Частотно-импульсные системы управления объектами с запаздыванием. Материалы за 3-а международна практична конференция, Умение и нововъведения, Том 10. Технологии. София, Бял ГРАД-БГ ООД, 2007. С. 54–58.

2. Солодовников В.В., Филимонов А.Б. Конструирование регуляторов для объектов с запаздыванием // Известия АН СССР «Техническая  кибернетика». М., 1979, № 1, С. 168-177.

3. Айтчанов Б.Х., Айтчанова Ш.К. Мажорирующая динамическая частотно-импульсная система управления с запаздыванием. Materialy IV Miedzynarododowej naukowi-praktyczney konfereneji “Nowoczesnych naukowych osiagnec-2008”. Tym 17. Techniczne nauki / Przemyskl. Nauka I studio/, 2008. С. 53-57.