Математика / 4. Прикладна математика

Камаєва С.О.

Івано-Франківський національний технічний університет нафти і газу, Україна

Нові обчислювальні схеми в задачах про кручення

На сьогоднішній день в прикладних дослідженнях все частіше використовуються наближені методи. Це пояснюється, перш за все тим, що знайти аналітичний розв’язок буває надто важко або й взагалі неможливо. Одним з найбільш популярних обчислювальних методів є метод скінченних елементів (МСЕ), який успішно застосовується при розв’язуванні різних інженерних задач. Проте проблема удосконалення схем МСЕ з метою зменшення витрат на їх реалізацію є актуальною і в Україні, і за її межами.

Дана робота присвячена розв’язуванню задач про кручення призматичних стержнів з прямокутним перерізом. Як відомо, ці задачі утворюють важливий розділ теорії пружності, а концепції, що використовуються при дослідженні кручення стержнів некругового перерізу, однаково корисні як для механічних задач, так і для задач теорії поля.

Спочатку було розглянуто частинний випадок, коли поперечний переріз – квадратний [1]. За допомогою МСЕ знаходились максимальне дотичне напруження та крутний момент і порівнювались з результатами, отриманими аналітично [2]. При цьому аналізувалась точність розрахунків в залежності від кількості серендипових елементів, на які розбивався переріз, з використанням стандартної та альтернативних моделей.

Покриваючи переріз одним серендиповим елементом 3-го порядку (12 вузлів) стандартна модель [3] виявилась непридатною. В цей же час альтернативна 16-параметрична модель, яка є гармонічною за інтегральним критерієм Кьобе [4], дала досить непогану точність (відносні похибки для та становлять 1.185 % і 5.263 % відповідно).

При розбитті перерізу на чотири 12-вузлові елементи однією з найкращих виявилась стандартна модель (відносні похибки для та становлять 12.056 % і 1.849 % відповідно). Покращення вдається досягти подальшим збільшенням кількості елементів, що призводить, в свою чергу, до збільшення обсягу роботи й ускладнення обчислювального процесу. Виникає питання, чи можна знайти таку оптимальну модель, яка б забезпечувала прийнятну точність при меншій кількості елементів?

Відомо, що маючи дві моделі можна отримати безліч шляхом їх «зважування»:

, , ,

де – коефіцієнт «зважування».

Для знаходження цього коефіцієнту було розв’язано обернену задачу з врахуванням точного розв’язку для [2]. В якості зважуваних моделей та були вибрані стандартна модель [3], базисні функції якої в характерних вузлах мають вигляд:

,

та нова альтернативна 16-параметрична модель з такими функціями:

,

.

Зазначимо, що дана модель унікальна тим, що всі без виключення базисні функції містять параметр з .

Виявилось, що при відносні похибки для та склали 0 % і 0.241 % відповідно. Отриману таким чином модель було протестовано на задачах про кручення призматичних стержнів з прямокутними перерізами. Відносні похибки розрахунків для та в порівнянні з точними [2] для різних відношень сторін прямокутника наведені в табл. 1. В цій же таблиці проведено порівняльний аналіз з відповідними результатами для стандартної моделі.

Таблиця 1

Відносні похибки для та , [%]

	Оптимізована модель		Стандартна модель
	для	для	для	для
1.2	0.08	0.1	12.843	1.579
1.5	0.127	0.273	14.052	1.849
2.0	0.433	1.724	15.621	3.604
2.5	0.979	0.797	17.228	2.869

Зауважимо, що ці результати були отримані при розбитті перерізу всього на чотири елементи.

Таким чином, можна зробити висновок, що в даній роботі вдалось побудувати оптимальну скінченно-елементну серендипову модель, що забезпечує прийнятну точність при менших затратах. Аналогічні дослідження проводились при використанні стандартної та альтернативних моделей на біквадратичних серендипових елементах (8 вузлів), що буде висвітлено в наступних публікаціях. Хочеться підкреслити роль геометричного моделювання, яке дозволило отримати альтернативні моделі і тим самим відкрило шлях до нових досліджень.

ЛІТЕРАТУРА:

1. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. – М.: Мир, 1979. – 392 с.

2. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости: Пер. с англ. / Под ред. Г.С. Шапиро. – 2-е изд. – М.: Наука, 1979. – 560 с.

3. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. – М.: Мир, 1986. – 328 с.

4. Камаєва С.О. Дослідження властивостей серендипових моделей / Матер. V междунар. науч.–практ. конф. «Актуальные достижения европейской науки – 2009». – Том 11. Математика. – София: «Бял ГРАД-БГ» ООД, 2009. – С. 55-58.