Ковалец О.Я.

Национальный технический университет Украины «КПИ»

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПРОНИКАЮЩЕГО АКУСТИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ С АБСОЛЮТНО ТВЕРДЫМ ПОПЛАВКОМ. ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА

Под действием прошедшей внутрь прибора акустической волны поплавок будет совершать поступательное движение в направлении излучения. Естественно, что величина этого перемещения будет ограничена геометрией цапфенных опор.

Вынужденное движение поплавка под действием звуковой волны приведет к дополнительному давлению на опоры выходной оси увеличивая тем самым сухое трение.

Решая первую задачу динамики, можно вычислить величину этого давления:

где M – масса поплавка, U (t) – поступательное перемещение гироузла.

Ограничиваясь систематической составляющей погрешности измерений, без учета динамики подвижной части, определяем значение акустической погрешности (в простейшем случае) –

(1)

где – радиус цапфенной опоры, – коэффициент жесткости пружины ДУСУ. Остается установить закон перемещения поплавка под действием звукового излучения.

Для иллюстрации сказанного примем поплавок абсолютно твердым телом массы , перемещающимся поступательно в реальной, несжимаемой жидкости вдоль одной координатной оси. Строго говоря, в натурных условиях имеют место и три угловых движения. Однако, для простоты эти движения здесь не рассматриваются.

Пусть функции, определяющие перемещение жидкости и ее взаимодействие с поплавком имеют вид –

где – присоединенная масса; коэффициент трения; – дельта-функция Дирака, представляющая собой мгновенное значение импульса акустического воздействия; единичная функция Хэвисайда. Связь между функциями Дирака и Хэвисайда определяется равенством

причем

Отсюда очевидно, что

Имеют место равенства:

Линейный вязко-упругий подвес. Полученные соотношения позволяют установить закон поступательного перемещения поплавка:

для линейно- и вязко-упругого, безгистерезисного подвеса

(2)

для вязко-упругого подвеса

(3)

для линейно-упругого подвеса

(4)

с учетом только вязкого сопротивления при перемещении поплавка

(5)

где , – соответственно коэффициенты упругости и демпфирования; – масса вытесненной поплавком жидкости.

Вначале изучим более общий случай – уравнение (2). Примем полный импульс акустической волны конечным по величине. Выясним закономерность движения гироузла. Для этого уравнения (2) запишем в виде –

Применив одностороннее преобразование Лапласа, получаем в операторной форме:

Отсюда –

где

Так как

то решение уравнения (2), переходя к оригиналу, в окончательном виде можно записать так –

(6)

Аналогично для уравнения (3). В операторной форме –

и в оригинале -

(7)

где

Повторяя преобразования, получаем решение уравнения (4) в операторной форме –

Обозначив

перейдем к оригиналу:

(8)

где

Наконец, для случая, когда учитывается только вязкое сопротивление движущегося поплавка из уравнения (5) после одностороннего преобразования Лапласа при нулевых начальных условиях определяем в операторной форме закон движения гироузла под действием акустического излучения –

Обозначим и перейдем к оригиналу:

(9)

Представим в виде разложения в ряд следующие сомножители (полагая, что ):

Тогда первую и вторую квадратные скобки выражения (9) можно записать иначе –

Решение уравнения (5) окончательно примет вид :

Это выражение совпадает с полученной В.В. Новожиловым формулой. Очевидно, что при достаточно малом вязком сопротивлении и достаточно большом значении в период времени перемещение поплавка ДУСУ будет определяться только первым слагаемым, то есть

так как при единичном смещении для обобщенной силы в реальной жидкости имеет место равенство –

С увеличением времени t, перемещение поплавка уменьшается, если и увеличивается, если .

Оценим величины предельных перемещений под действием акустического излучения. С этой целью, в формулах (6…9) достаточно принять .

Тогда для рассмотренных случаев получим:

для линейно- и вязко-упругого, безгистерезисного подвеса поплавка –

для вязко-упругого подвеса –

для линейно-упругого подвеса-

с учетом только вязкого сопротивления при перемещении поплавка –

если

В полученных формулах, в правых частях выражений, значения предельного перемещения частиц жидкости при равны 1, то есть имеет место равенство