А.П.Мустафаев

Семипалатинский государственный университет имени Шакарима

Задача Коши для гиперболического уравнения третьего порядка

Дифференциальное уравнение – независимо от того, является ли оно обыкновенным или содержит частные производные, допускает бесконечное множество решений. Прежняя классическая точка зрения на его интегрирование состояла в отыскании так называемого «общего решения». Однако в более поздних работах, особенно в тех, в которых исследуются уравнения с частными производными, отказались от этой точки зрения не только из-за трудности и невозможности получения этого «общего интеграла», но, главным образом, потому, что задача далеко не исчерпывается простым его нахождением.

В большинстве приложений задача состоит в нахождении какого-либо решения дифференциального уравнения или выборе среди всех возможных решений некоторого из них, определяемого дополнительными условиями, заданными подходящим образом. Здесь рассматривается замечательный пример, иллюстрирующий сравнительный анализ некорректности и корректности постановки задачи Коши для уравнения гиперболического типа третьего порядка.

Общее решение гиперболического уравнения третьего порядка

(1)

имеет вид

(2)

где - произвольные достаточно гладкие функции.

Известно, что уравнение (1) с начальными данными

(3)

не имеет решения при

, (4)

а если

, (5)

то решение имеет вид

(6)

следовательно, искомое решение неединственное.

С другой стороны, можно определить в явном виде функции , удовлетворяющие уравнению (1) с начальными условиями

(7)

сравнивая (3) и (7), в силу условия (5) имеем

(8)

Тогда решение уравнения (1), удовлетворяющее условию (7), имеет вид

. (9)

Из этой формулы видно, что найти функцию , удовлетворяющую условие (8), в явном виде, не так уж легко.

Если решение уравнения (1), удовлетворяющее условию (7), будем искать введя новую переменную

(10)

то сможем определить функцию в явном виде.

В силу (10) уравнение (1) приводится к дифференциальному уравнению вида

(11)

Решив дифференциальное уравнение и переходя к первоначальным переменным, получим

(12)

где - произвольные вещественные числа.

В силу условия (7) имеем:

(13)

Из системы получим

Тогда решение задачи Коши для гиперболического уравнения (1) имеет вид

(14)

Сравнивая полученное решение с решением полученным при непосредственном вычислении (9), имеем

Отсюда

,

а также

Если положить , то получим то же решение.

Литература:

1. Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики – М.: Наука 1977.