Технические науки /2. Механика

К.ф.-м.н. Сяський В.А.

Национальный университет водного хозяйства и природопользования

Напряженное состояние пластины

с частично подкрепленным краем

Пластины с отверстиями, усиленные разомкнутыми ребрами жесткости, находят широкое применение в стыковочных узлах летательных аппаратов, туннелях, судостроении и других областях инженерной техники.

Данная работа посвящена определению напряженного состояния бесконечной изотропной пластинки толщиной 2h с круговым отверстием радиусом ρ₀=1, подкрепленным на участке L₁=[-α₀, α₀] (α₀<π) тонким упругим стержнем, обладающим жесткостями на растяжение А (λ) и изгиб В (λ) в своей плоскости. Пластинка находится под действием взаимно перпендикулярных растягивающих усилий интенсивностей p и q, приложенных на бесконечности.

При решении задачи вводятся функции U и V, связанные с упругими перемещениями u_ρ, u_λ точек контура отверстия в полярной системе координат (ρ, λ) соотношениями

, . (1)

Эти же функции через искомые нормальные Т_ρ и касательные S_ρλ усилия на линии спая после решения первой основной задачи для плоскости с неподкрепленным круговым отверстием выражается соотношениями [2]:

,

. (2)

Здесь Е, ν – модуль упругости и коэффициент Пуассона материала пластинки; β₀ – угол между линией действий усилий р и осью Ох.

Граничные условия спая пластинки и стержня имеют вид [2]

, , (3)

где Р(λ) и М(λ) – продольная сила и изгибающий момент в сечении λ стержня, причем

,

. (4)

Соотношения (2) – (4) приводят к системе двух сингулярных интегральных уравнений относительно контактных усилий T_ρ и S_ρλ, которая в комплексной форме представлена следующим образом:

. (5)

Здесь F(ξ) – непрерывная по ξ на отрезке [-1, 1] функция, удовлетворяющая условию Гельдера.

В работе показано, что решение системы (5) следует искать в виде

, (6)

где – ограниченные на [-1, 1] функции.

Приближенное решение находится методом граничной коллокации. С этой целью для искомых функций и строятся интерполяционные полиномы Лагранжа[1]

(7)

; N – число узлов интерполяции), что позволило рассматриваемую задачу свести к системе 2N линейных алгебраических уравнений относительно постоянных А_n, B_n, к которой следует присоединить условия равновесия стержня как целого. Встречающиеся при этом сингулярные и обыкновенные интегралы вычисляются с помощью квадратурных формул типа Гаусса и механических квадратур наивысшей степени точности [1].

Численная реализация задачи проведена для пластинки и стержня постоянного поперечного сечения 2h₀ × b₀ (2h₀ – высота стержня; b₀ – ширина) с физико-геометрическими характеристиками

, , (8)

при β₀=0, N=64, ν=0,3.

На рис. показано распределение усилий T_ρ и S_ρλ на контуре отверстия при растяжении пластинки усилиями (Е₀ – модуль упругости материала стержня).

Рис. Распределение контактных усилий на контуре отверстия

Литература:

1. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости. М.: Наука, 1973. – 303 с.

2. Сяський В.А. Напряженное состояние кусочно-однородной пластинки с инородным дуговым включением // Гидромелиорация и гидротехническое строительство. Львов: Изд-во Львов. ун-та . – 1984. – №12. – С. 115-119.