Р.Ш. Марданов, А.Ю. Хасанова
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ И ОЦЕНКА КОНЕЧНОЙ
ВЕЛИЧИНЫ НАКОПИТЕЛЬНЫХ ФИНАНСОВЫХ ФОНДОВ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
При создании
накопительных фондов, таких как инвестиционные, благотворительные фонды и др.,
учредителям этих фондов необходимо прогнозировать не только конечную величину
накопленных денежных средств в конце срока капитализации, но и реальное
значение этих средств с учетом инфляции.
Если размеры отдельных
денежных взносов, поступающих на счет фонда, заранее не регламентированы, то
представляется целесообразным применение стохастического (вероятностного)
подхода к определению реального значения накопленной за определенный срок суммы
денежных средств с учетом капитализации и ожидаемого уровня инфляции.
В настоящей работе
предлагается метод расчета накопленной суммы фонда при условии, что взносы
поступают на счет фонда через равные промежутки времени продолжительностью в часть года, и поток
поступающих денежных средств представляет собой переменную финансовую ренту,
члены которой не подчиняются определенной закономерности (например, законам
арифметической и геометрической прогрессий).
Пусть в некоторый
накопительный фонд в течение лет
раз в год в начале
каждого периода продолжительностью в
года поступают
различные денежные суммы, величины которых с вероятностями, соответственно
равными
, составляют
ден.ед.
. Напомним читателю, что, если взносы поступают в начале
каждого периода, то финансовая рента называется
-срочной рентой пренумерандо.
Вероятности образуют матрицу:
и удовлетворяют условию:
.
На аккумулируемые
денежные средства раз в год в конце
каждого расчетного периода начисляются сложные проценты по годовой удельной
ставке
(декурсивным методом).
В общем случае
; например, если взносы поступают ежемесячно, а проценты
начисляются ежеквартально, то
,
.
Среднее значение
(математическое ожидание) разового взноса в -м году вычислим по формуле:
,
а сумма всех взносов за -й год составит
,
.
Тогда сумма всех денег,
поступивших за лет на счет фонда,
будет:
.
Найдем конечную величину
капитала, который накопится из суммы за
лет.
В начале первого периода
первого года на счет поступит в среднем сумма . Из этой суммы за
лет накопится сумма
,
где – сложный декурсивный
коэффициент.
Итак, , так как эта сумма наращивается в течение
периодов (всего
лет по
периодов в каждом
году).
Из суммы , поступающей в начале второго периода первого года,
накопится сумма
,
так как после окончания первого
периода до конца ренты останется периодов.
В начале третьего периода
первого года на счет фонда поступит в среднем сумма , из которой накопится сумма
и т.д.
Из суммы , которая поступит в начале последнего (
-го) периода первого года, накопится сумма
.
Таким образом, из
денежных средств, которые поступят в фонд за весь первый год, накопится сумма:
.
Выражение представляет собой
сумму
членов геометрической
прогрессии с первым членом
и знаменателем
. Отсюда следует, что
.
В начале первого периода
второго года на счет фонда поступят денежные средства, величина которых в
среднем составит , из которых за
год накопится сумма
,
так как с момента поступления этой
суммы до конца ренты пройдет периодов.
Следовательно,
.
Из суммы , которая поступит в начале второго периода второго года,
накопится сумма
, и т.д.
В начале последнего (-го) периода второго года поступят в среднем денежные
средства
, из которых накопится
.
Тогда сумма, которая
накопится из денежных средств, поступивших за весь второй год, будет равна:
Аналогично найдем суммы , …,
, которые накопятся из денежных средств, ожидаемых
соответственно за третий, …,
-й годы:
Конечная величина денежных средств
фонда в результате капитализации в течение лет составит
или
.
Если ожидаемый
среднегодовой уровень инфляции за рассматриваемые лет составит
%, то индекс инфляции
за этот срок будет равен
.
Тогда реальное значение
капитала с учетом инфляции
будет:
или
.
Таким образом,
предложенный метод позволяет не только вычислить конечную величину капитала,
накопленного на счете данного фонда, но и оценить его реальное значение в конце
срока при условии, что этот фонд является накопительным, и до окончания
указанного срока ( лет) денежные средства с этого счета сниматься не будет.