УДК 37.016:51(075.8) Сатыбалдиев О.С. , Шанкибаев Б.Н.

Республика Казахстан

Сквозная подготовка и непрерывность обучения

в разделе «Дифференциальное исчисление функций

одной и нескольких переменных» и в последующих

экономических дисциплинах

Раздел «Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных» входит в дисциплину «Математика для экономистов» и, согласно [1], читается студентам экономических специальностей ВУЗов в первом семестре в объеме 3 кредитов.

На лекционных занятиях по данному разделу преподаватель приводит определения производной и объясняет ее геометрический, механический и экономический смысл. Далее лектор приводит таблицу производных и формулирует основные правила дифференцирования; объясняет методику нахождения производной сложной функции, а также производной неявной функции и функций, заданных в параметрической форме; формулирует правила нахождения производных высших порядков; знакомит студентов с понятием дифференциала функции и приводит методику приближенных вычислений при помощи дифференциала.

На последующих лекционных занятиях преподаватель переходит к исследованию функций при помощи производных и построению их графиков: формулирует необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функций, существования точек экстремума функций, интервалов выпуклости и вогнутости графиков функций, точек перегиба. Далее лектор приводит методику нахождения асимптот и переходит к построению графиков функций.

На семинарских занятиях и занятиях вида СРСП (самостоятельная работа студента под руководством преподавателя) студент решает задачи на нахождение производных элементарных функций, заданных в явной, неявной и параметрической формах; находит дифференциалы функций и производит приближенные вычисления при помощи дифференциала; находит интервалы монотонности функции, точки экстремума, интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба; определяет асимптоты и строит графики функций.

Особое место в изложении данной тематики занимает раздел «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных». На лекционных занятиях дается определение функции и на примере функции двух переменных дается графическое изображение, линии уровня, область определения и область значений функции. Далее лектор дает определение частных производных и на примере функции двух переменных объясняет их графический, механический и экономический смысл; дает определение градиента функции, как вектора, показывающего направление самого быстрого роста функции в заданной точке; дает определение полной производной, частного и полного дифференциала для функции двух переменных, объясняет их графический и экономический смысл; приводит формулу для приближенных вычислений при помощи полного дифференциала. Затем лектор знакомит студентов с однородными функциями, приводит формулы Эйлера и описывает область применения этих формул в микроэкономическом анализе. Далее лектор рассматривает тему «Экстремум функции нескольких переменных» и на примере функции двух переменных дает определение локального и глобального экстремума, формулирует необходимые и достаточные условия существования экстремума в заданной точке; раскрывает методику нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой области.

На семинарских занятиях и на занятиях вида СРСП студент решает задачи на нахождение области определения функции двух переменных, находит частные производные первого и высших порядков, проверяет свойство инвариантности порядка дифференцирования, находит градиент функции и скорость возрастания функции в точке приложения градиента, вычисляет полную производную в заданной точке, частные и полный дифференциалы, производит приближенные вычисления при помощи полного дифференциала. Далее студент находит точки и значения экстремума функции двух переменных, определяет наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области. Кроме этого, на занятиях вида СРСП студент анализирует область применения функций нескольких переменных в экономике, в своей будущей профессии.

Проведем обзор применимости раздела «Дифференциальное исчисление» в экономическом анализе, [2], [3].

Дифференциальное исчисление – широко применяемый аппарат для проведения экономического анализа.

Как изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин? Как изменится выручка фирмы при повышении цен на ее продукцию? В какой пропорции дополнительное оборудование может заменить выбывающих работников? Для ответов на заданные вопросы необходимо будет построить некоторые функции связи, которые затем анализируются с помощью методов дифференциального исчисления.

В экономике часто требуется найти оптимальное значение некоторого показателя: максимальную прибыль, наивысшую производительность труда, максимальный выпуск продукции, минимальные издержки, оптимальный налог и т.д. Решение данных задач сводится к нахождению экстремума функции одной или нескольких переменных, использующих методы дифференциального исчисления.

Одной из областей широкого применения методов дифференциального исчисления в экономике является так называемый «Предельный анализ в экономике», где непосредственно используется понятие производной (предельный доход, предельные издержки, предельная производительность труда, предельные склонности к потреблению и сбережению и т.д.).

Предельный анализ – это совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменениях объемов производства, потребления и т.д. на основе анализа их предельных значений, т.е. производных или частных производных.

Широко используются в экономике и средние величины: средний доход, средняя прибыль, средние издержки, средняя производительность труда, …. Для нахождения их значений требуется определить предел отношения приростов результата и затрат, т.е. найти предельный эффект или, говоря на языке математики, производную или частную производную.

Показатель предельного эффекта применяется в оптимизационных моделях, например, для нахождения оптимального объема производства при заданных ресурсах или для определения оптимального распределения ограниченных ресурсов по направлениям их использования.

Широко используется в экономическом анализе понятие дифференциала, например, если некоторая величина есть функция двух параметров, то с использованием дифференциала легко рассчитать предельную норму замены между этими параметрами, т.е. величину, показывающую, сколько нужно одного фактора для замены одной единицы другого фактора с сохранением начального значения функции.

Особое место в экономическом анализе занимает понятие эластичности функций.

Лектор на занятиях должен ввести это понятие и определить коэффициент эластичности, как величину, характеризующую относительное изменение исследуемого показателя под действием единичного относительного изменения фактора, от которого зависит этот показатель; раскрыть ее геометрический и экономический смысл.

В экономике имеют приложения, например, следующие виды эластичности: прямая эластичность спроса по цене, эластичность спроса по доходу, перекрестная эластичность спроса по цене, эластичность замещения одного ресурса другим, эластичность спроса и предложения.

На методах дифференциального исчисления анализируются и такие понятия экономического анализа, как функция полезности, производственная функция, задачи потребительского выбора, взаимозаменяемость благ, эффекты компенсации, задачи экономической динамики.

Из этого краткого обзора применимости дифференциального исчисления в экономическом анализе следует важность данного раздела в экономике.

При обучении и подготовке будущих экономистов дифференциальное исчисление используется в следующих обязательных курсах, приведенных в Государственном стандарте образования [1].

Это дисциплины: микроэкономика (теория спроса и предложения, издержки производства, возможность получения фирмами максимальной прибыли); макроэкономика (основные макроэкономические показатели: валовой национальный продукт, уровень цен, уровень безработицы, чистый экспорт); статистика (статистические показатели, анализ распределений, статистические методы анализа взаимосвязи, выборочное исследование); эконометрика (проверка статистических гипотез, выборочные характеристики); маркетинг (процесс маркетинговых исследований); менеджмент (функции менеджмента, теория лидерства в управлении); экономика предприятий (издержки производства и реализации продукции, прибыль и рентабельность); институциальная экономика (трансакционные издержки, теория игр и моделирования взаимодействия между индивидами и структурами, изменение институтов во времени, соотношение эволюции и революции, издержек экспорта и импорта институтов в ходе исторического процесса); экономика природопользования (экономическая оценка природных ресурсов, базовые и дифференциальные нормативы платы за природопользование, экономическая оценка различных услуг в сфере природопользования, экономическая оценка ущерба от негативного антропогенного воздействия, определение экономической эффективности природоохранных мероприятий, расчет стоимости природоохранных объектов); предпринимательство (анализ и оценка предпринимательской деятельности); анализ данных и моделирование экономики (модели потребления и производства, статистические оценки, прогнозирование).

Литература

1. Государственный общеобязательный стандарт образования РК, образование высшее профессиональное, для специальности «050506 – Экономика» - ГОСО РК 3.08.059-2004.

2. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов, М., 1997, 438 с.

3. Шанкибаев Б.Н. Высшая математика для экономистов. Алматы, «Эверо», 2002, 369 с.