Серов В. В.

Дятьковский филиал Белгородского государственного технологического университета им. В. Г. Шухова, Россия

Скалярное поле в общей теории относительности

Общая теория относительности (ОТО) не является полевой теорией. Объектами ОТО являются риманово пространство и пробные точечные частицы. Введение полей в ОТО сопряжено с определенными трудностями. Поля, не изменяющиеся со временем, легко учесть в правой части уравнений Эйнштейна в виде плотности энергии этих полей. Сферически симметричное статическое решение уравнений Эйнштейна для скалярного поля с положительной плотностью энергии было получено и проанализировано в [1]. Физически это решение соответствует антигравитации. Аналогично получается решение уравнения Эйнштейна

(1)

для отрицательной плотности энергии поля. В (1) где - тензор кривизны Эйнштейна, R – скалярная кривизна, - тензор энергии-импульса, <0 - плотность энергии поля. В этом случае решение (1) имеет вид

(2),

где .

Метрике (2) в нерелятивистском случае соответствует потенциал

(3)

Первое слагаемое в (3) соответствует обычному потенциалу Ньютона, а второе – потенциалу сил притяжения, изменяющихся по линейному закону с расстоянием. Рассмотрим две частицы, потенциал взаимодействия которых определяется (3) с r_g= 0. Тогда на малых расстояниях эти частицы являются свободными. При увеличении расстояния между частицами силы взаимодействия стремятся к бесконечности, и частицы невозможно «оторвать» друг от друга. Такой объект давно известен в физике элементарных частиц и называется струной, а потенциал взаимодействия (3) с r_g= 0 – это потенциал взаимодействия двух кварков. Поэтому, возможно, гравитация уже включена в общую теорию взаимодействий.

Рассмотрим теперь скалярные поля, изменяющиеся с течением времени. Скалярное поле с отрицательной плотностью энергии является скалярным полем Хиггса, интеграл действия которого в случае плоского пространства имеет вид [2]

(4),

где - метрический тензор плоского пространства, а - потенциал поля Хиггса.

Поле Хиггса имеет два положения равновесия: - неустойчивое положение равновесия или «ложный вакуум», и - устойчивое положение равновесия или истинный вакуум с отрицательной плотностью энергии.

Обобщение (4) на случай искривленного пространства очевидно

(5)

Интеграл действия для гравитационного поля берем в стандартном виде [3]

, (6)

Поле j - это поле сил притяжения. Для того чтобы добавить антигравитацию нужно ввести еще одно скалярное поле y с положительной плотностью энергии и нулевым вакуумом.

Интеграл действия для скалярного поля y берем в виде

(7)

Поля с «не симметричным» вакуумом, по-видимому, никакой роли в космологии не играют, и дальше мы не будем их рассматривать. Тогда полное действие всей системы будет равно

(8)

Вариация действия по потенциалам приводит к уравнениям Эйнштейна (1) с тензором энергии-импульса в виде (см, например, [4])

(9)

Вариация действия по полю y приводит к уравнению типа Клейна-Гордона

(10)

Рассмотрим далее однородную модель. Для этой модели в случае постоянной положительной кривизны используем метрику

(11),

а в случае постоянной отрицательной кривизны выражение для интервала приобретает вид [3]

(12),

где a(х⁰) – масштабный фактор, х⁰, c, q и f - координаты.

В случае однородной модели тензор энергии импульса (9) имеет следующие компоненты, отличные от нуля

, (13)

Для метрики (11)-(12) и тензора энергии-импульса (13) уравнения Эйнштейна приобретают вид

(14)

(15),

где k=0, 1, -1 для плоской, закрытой или открытой моделей соответственно, а штрих означает производную по координате х⁰. Отметим, что левые части уравнений Эйнштейна (14), (15) совпадают с выражениями, полученными в классических работах А. Фридмана [5].

Начальные условия для уравнений (14) и (15) определяем для момента времени t=0, когда масштабный фактор имел наименьшее значение:

(16)

Для того чтобы (14) не приводило к противоречию, нужно положить k=1,

т. е. рассматривать закрытую модель. В этом случае уравнения (14) и (15) примут вид

(17)

(18)

Уравнения (10) в случае однородной метрики приобретают вид

(19)

Динамическими уравнениями движения являются уравнения (18) и (19), содержащие вторые производные, а уравнение (17) является связью. Уравнения (17)-(19) описывают расширяющуюся Вселенную. Если нужно описать Вселенную на стадии сжатия, то перед вторым слагаемым в (19) нужно изменить знак на противоположный.

Уравнения (17)-(19) должны быть решены при начальных условиях (16). Однако эти условия не являются независимыми. Согласно уравнению связи (17) . Таким образом параметрами модели являются минимальный масштабный фактор и m. То, что совпадает с планковской длиной отнюдь не очевидно. Возможно, что существенно отличается от планковской длины. Тогда Вселенная в целом и никогда не была в глубоком режиме Планка.

Рассмотрим решение вблизи точки t=0. В этом случае , а y согласно (19) медленно убывает по параболическому закону (разложение косинуса в нуле). Полагая в (17) и (18) , получим решение (17)-(18) в виде

(20)

Согласно (20) начальный параболический закон расширения быстро переходит в экспоненциальный. Это – режим инфляции. Продолжительность периода инфляции по порядку величины равна (постоянная имеет размерность длины).

Однако согласно (19) из-за наличия «трения» y начинает убывать, расширение Вселенной замедляется, и режим изменения y становится колебательным. Рассмотрим поведение в этом режиме.

Будем искать решение (19) в виде

(21),

где амплитуда медленно меняется с течением времени по сравнению с быстрыми осцилляциями . Подставив (21) в (17)-(19), получим

(22)

(23)

(24)

Так как частота осцилляций скалярного поля m высока, то в правых частях равенств (22) и (23) можно пренебречь всеми слагаемыми кроме первого и (22)-(23) примут вид

(25)

(26)

Выскажем предположение, что . Это предположение эквивалентно тому, что на рассматриваемом этапе расширения радиус горизонта событий значительно меньше величины масштабного фактора. Предположение вполне обосновано, так как в конце периода инфляции масштабный фактор действительно достигает громадных значений. Тогда с учетом этого равенства (25)-(26) примут вид

(27)

(28)

Подставив в (24) из (27) и приравняв коэффициенты при и по отдельности к нулю, получим

(29)

Второе слагаемое в правой части (28) быстро осциллирует, поэтому при усреднении его по промежуткам времени значительно большим периода осцилляций оно даст нуль. Следовательно, (28) можно записать в виде

(30)

Система уравнений (27), (29), (30) не противоречива и имеет следующее решение

(31),

где А₁ – некоторая постоянная.

Но тогда для получаем

(32)

По смыслу А₁ – это значение масштабного фактора на момент окончания инфляции. При t®¥ постоянная Хаббла стремится к нулю, но стремится к бесконечности. Общий вид зависимости изображен на рис. 1.

В рассматриваемой модели не учитывается вещество. Как показывают наблюдательные данные [6], расширение Вселенной происходит на относительно малых расстояниях, начиная от 2 Мпс и заканчивая 20 Мпс, т. е.

на таких расстояниях, где никакого расширения не должно быть, так как на этих расстояниях Вселенная существенно неоднородна. Однако расширение Вселенной происходит как на больших расстояниях, так и на малых, причем по одному и тому же закону, с одним и тем же значением постоянной Хаббла. Это означает, что на теперешней стадии эволюции Вселенной вещество не оказывает никакого влияния на динамику Вселенной.

Если учесть второе слагаемое в правой части (28), то , а, следовательно, и компоненты метрического тензора, начинают быстро осциллировать. Такие осцилляции описывают реликтовые гравитационные волны. Рассмотрение их может являться темой отдельной работы.

Литература

[1] Серов В В Научная жизнь, 2 (2008) (в печати)

[2] Окунь Л Б Лептоны и кварки, Москва, Наука (1982); Окунь Л Б Физика элементарных частиц, Москва, Наука (1988)

[3] Ландау Л Д, Лифшиц Е М Теория поля, Москва, Наука (1967)

[4] Р Ф Фейнман, Ф Б Мориниго, У Г Вагнер, Фейнмановские лекции по гравитации, Москва, Янус-К (2000)

[5] Фридман А А УФН 80 439, 447 (1963)

[6] Караченцев И Д, Макаров Д И, Астрофизика 44 5 (2001)