Физика/1. Теоретическая физика

К.ф-м.н. Галиахметов А.М., Уколов А.И., Шилкин В.А.Копыл Пасько А.СА.

Донецкий национальный технический университет, Украина

Анизотропная модель с двумя источниками кручения

в теории Точная модель в двухторсионной космологии

Эйнштейна-КартанаАвтомобильно-дорожный институт

Точно интегрируемая модель в космологии Эйнштейна – Картана

В рамках программы построения калибровочной теории гравитационных взаимодействий большую актуальность имеет Пуанкаре калибровочная теория гравитации и, в частности, ее простейший вариант – теория Эйнштейна – Картана (ТЭК). ТЭК опирается на пространства Римана – Картана, которые обладают не только кривизной, но и кручением. В этой теории удалось достичь некоторого прогресса в устранении трудностей в общей теории относительности (ОТО) Общеизвестно, что проблемы общей теории относительности (ОТО) и стандартного космологического сценария стимулировали разработку других общерелятивистских теорий гравитации. В актуальном варианте пуанкаре калибровочной теории гравитации – теории Эйнштейна-Картана (ТЭК), в которой пространство обладает не только кривизной, но и кручением, удалось достичь некоторого прогресса в устранении трудностей ОТО (см., например, [1-4]).

В работе в рамках двухторсионной ТЭК, построенной в [5, 6], рассматриваютьсярассматриваются закрытые однородные анизотропные космологические модели с неминимально связанным духовым (ghost) скалярным полем (первый источник кручения) с нелинейным потенциалом,

ультрарелятивистским газом и двумя идеальной ыми жидкостьюями, одна из которых моделирует материю «жесткого» типа, которая а вторая является вторым источником кручения.

Лагранжиан модели L выбираем в виде суммы лагранжианов: гравитационного – , скалярного поля – , и идеальнойых жидкостией – и , ультрарелятивистского газа - L_p:

, (1)

(2)

, (2)

(3)

. (3)

Здесь R(Г) – скалярная кривизна связности -

- символы Кристоффеля 2-го рода; - тензор кручения; – гравитационная постоянная Эйнштейна; ξ – постоянная неминимальной связи; V(Ф) – потенциал скалярного поля; ρ – плотность массы жидкости; П(ρ,е) – её внутренняя энергия; k, k₁, k₂, k₃– лагранжевы множители; Х – лагранжевы координаты частиц материи;, e – удельная энтропия [7]; – 4-скорость; – ковариантный оператор в пространстве-времени Римана-Картана. Лагранжианы L_fl(2) для жидкости с предельно жестким уравнением состояния и L_p для

ультрарелятивистского газа не выписаны, так как для негоих в производной члена, регулирующего сохранение числа частиц, нет вектора кручения.

Метрический тензор g_ik имеет сигнатуру (– , – , – , + ), а тензоры Римана и Риччи определяются как. Из (3) следует, что кручение может взаимодействовать с идеальной жидкостью только через свой след (вектор кручения).

Отметим, что уравнение скалярного поля, соответствующее лагранжиану (2) в отсутствие кручения при ξ=1/6 и V(Ф)=0 будет конформно-инвариантным, а при ξ= - 1/6, и V(Ф)= - (µ²/2)Ф² соответствует аксионному полю в ОТО [8], которое может быть ответственно за скрытую массу Вселенной.конформно инвариантному скалярному полю.

Замкнутая подсистема уравнений, которая описывает в рамках ОТО гравитационное взаимодействие ультрарелятивистского газа, двух идеальнойых жидкостией и неминимально связанного скалярного поля с потенциалом V(Ф), соотвествующаясоответствующая лагранжиану ,L=L_g+L_s+L_fl(1)+L_fl(2),+L_P имеет вид:

, (4)

, (5)

, (6)

(5)

где

, ,

,

,

, (7)

. (6)

Здесь – плотность энергии и давление жидкости; - и – оператор Д`Аламбера и ковариантная производная в римановом пространстве, соответственно;; ; ..

Сворачивая уравнение (к) системы (5) с и учитывая соотношения (d), (f), (g) и (h), получим:

(7)

Из уравнения (d) и (e) системы (5) следует:

(8)

2.Точные космологические решения

В метрике закрытых Для пространственно – однороднойых анизотропнойых моделией типа I по Бианкис метрикой

(89)

дуравнения (а) и (с) системы (5) приводятся к виду

(10)

(11)

(12)

где штрих обозначает дифференцирование по η.

В дальнейшем для жидкости, которая является источником кручения, выбор ограничимся рассмотрением вакуумного уравнения состояния : приводит к соотношениям:Тогда из (5) и (8) получим

, (С₁, С_Θ =const, С₁>0). (139)

где С₁, С_Θ – постоянные интегрирование (С₁>0).

Для жидкости с предельно жестким уравнением состояния справедливо

. (104)

Потенциал скалярного поля V(Ф) возьмём в виде:

, ((1051)

Из (4) следует

, (11)

, (12)

, (13)

где - постоянные интегрирования, .

Нетрудно показать, что система полевых уравнений допускает первый интеграл

, (14)

При наложении следующих условий

, , ,

. (15)

получено точное частное решение

,

, , (16)

где ; ,

, . (17)

Нетрудно видеть, что решение (16) описывает несингулярную модель, которая на поздних этапах эволюции ускоренно расширяется и изотропизуется по закону:

. (18)

Точные общие решения аналогичной задачи без учета потенциала скалярного поля и идеальной жидкости были получены в работе [9]. Было показано, что соответствующие модели несингулярны и асимптотически изотропизуются по экспоненциальному закону.

Таким образом, учет потенциала скалярного поля и второго источника кручения в виде идеальной жидкости приводит к изменению закона изотропизации.

где μ_, λ – постоянные; β= +1 соответствует массовому скалярному полю, β= –1 отвечает нелинейности типа Хиггса.

Точные решения получены для положительных значений эффективной постоянной Эйнштейна

(16)

Ппри наложении следующих условий (ξ > 0)

, ,и, что

, (127)

2.1. Решения для материального скалярного поля

получено точное частное решение в двух картах:

, , (13)

Точные частные решения получены в квадратурах:

(18)

где ; ; для , для ; - космологическое синхронное время ; .

Решение описывает сингулярные космологические модели с асимптотиками статического мира Эйнштейна при .

Сравнительный анализ полученного решения с решением аналогичной задачи без скалярно-торсионного поля [6] показывает, что учет скалярно-торсионного поля приводит к замедлению начальной космологической эволюции, так как (в двухторсионной модели) и (в модели без скалярно-торсионного поля).

Для ξ>0, β= –1 функции W_i имеют вид: а анализ решения (18) показывает, что оно описывает несингулярные вселенные двух типов:

(20)

(19)

где

Для ξ<0, β= +1 функции есть В этом случае решение (18) допускает существование несингулярных моделей следующих типов: один из которых подобен (19), а второй имеет следующие асимптотики:

(21)

2.2. Решения для «гравитационного» (α_s= – 1) скалярного поля

Точное частное решения для ξ>0, β= +1 получено в квадратурах:

(22)

где D₁ – постоянная интегрирования.

Решение (22) получено в двух картах и описывает сингулярные модели с асимптотиками:

(23)

Точные частные решения для ξ<0, β= –1 запишем в виде:

(24)

где

Анализ (24) показывает, что в этом случае все модели не имеют начальной сингулярности, а характер их эволюции определяется значением параметра :

а) <1/3. Возможны два сценария эволюции: при t→ – ∞ масштабный фактор a и скалярное поле Ф ведут себя как где а при изменяются по закону (19), и зеркальное поведение – при t→−∞ а и Ф измеряются по закону (19), а при как

в) =1/3. Решение выражается в элементарных функциях:

(25)

где

Масштабный фактор а достигает минимального значения припричём [R9C1] Для при t→ – ∞ a и Ф изменяются по закону а при как Для n= +1 имеем космологическую модель с зеркальным по отношению к n= –1 поведением.

с) 1/3< <1. Решение получено в двух картах: . Для модель сжимается по закону а затем период сжатия сменяется расширением, причем а и Ф ведут себя типу (19). Для имеет место зеркальное поведение модели.

Для =2/3 решение можно представить в элементарных функциях:

(26)

Минимум масштабного фактора достигается при причем . Заметим, что для скалярного поля Ф получено решение солитонного типа.

d)c)=1. Решение выражается в элементарных функциях:

(27)

Решение (27) справедливо для и получено в двух картах: n= +1 для , n= –1 для . Отметим, что всюду масштабный фактор либо убывает (n= +1), либо возрастает (n= –1), причем при t→ модели ведут себя по закону (19).

е) >1. Физически разумных решений нет.

2.3. Решения без скалярного поля

Для выяснения возможных эффектов двух источников кручения приведем точное общее решение для случая отсутствия скалярного поля:

(28)

где D₂ – постоянная интегрирования;

Из (28)видно, что сингулярное решение получено в двух картах, причем на ранних этапах эволюции масштабный фактор ведет себя как а при – по закону .

3. Выводы

Сформулируем основные результаты, полученные в данной работе:

1.0.В одноторсионном случае, когда источником кручения является идеальная жидкость с вакуумным уравнением состояния, получено точное общее сингулярное решение, которое имеет деситтеровскую асимптотику при t→∞.

2.0.В двухторсионном случае с массовым самодействующим скалярным полем (α_s= – 1, β= +1, ξ>0) найдено точное частное сингулярное решение, для которого начальный темп расширения модели меньше, чем в одноторсионном случае. Таким образом, учет второго источника кручения в виде неминимально связанного скалярного поля может приводить к замедлению начальной космологической эволюции.

3.1.В моделях с двумя источниками кручения возрастает число различных космологических сценариев, возможны несингулярные решения как с деситтеровской асимптотикой, так и отличной от неё. В отличие от одноторсионного случая получены модели, которые могут иметь либо больший, либо меньший темп расширения при больших значениях космологического времени.

4.1.Все точные решения в двухторсионном случае получены лишь при учете жидкости с предельно жестким уравнением состояния.

СПИСОК литературЛитература:Ы

1. Иваненко Д.Д., Пронин П.И., Сарданашвили Г.А. Калибровочная теория гравитации. – М.: Изд-во МГУ, 1985.

2. Пономарев В.Н., Барвинский А.О., Обухов Ю.Н. Геометродинамические методы и калибровочный подход к теории гравитации. – М.: Энергоатомиздат, 1985.

3. Кречет В.Г. Проблемы гравитационного взаимодействия физических полей в пространствах аффинной связности: Автореф. дис., … д-ра физ. - мат. наук – Ярославль, 1984.

4. Галиахметов А.М. // Укр. физ. журн. – 1993. – v. 38. - ,№6. – С. 807 – 814; 1994. – v. 39. - , №11-12. – С. 1029 – 1032.

5. Galiakhmetov A.M. // Gravitation and Cosmology. – 2001. – v.7. - № 1(25). - P. 33 – 36.

5.6. Galiakhmetov A.M. // Ukr. J.Phys. – 2001. – v.46. - № 12. – P. 1235 - 1238

7. Кречет В.Г., Мельников В.Н. //Изв. вузов. Физика – 1991. – т.34. - №2 – С. 75 – 79.

8. Krechet V.G., Sadovnikov D.V. // Gravitation and Cosmology. – 1997. – v.3. - № 2(10). - P. 133 – 140.

9. Galiakhmetov A.M. // Gravitation and Cosmology. – 2007. – v.13. - № 3(51). - P. 217 – 223.

6.Мельников В.Н., Радынов А.Г. // В сб.: Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. Вып. 15. – М.: Энергоатомиздат, 1985. – С. 65 – 72.

Кречет В.Г., Мельников В.Н. // Изв. вузов. Физика – 1991. – 34, №2

e – mail: ints@adi.gorlovka.net

e – mail: inst@adi.gorlovka.net

e – mail: tanya1979t@mail.ru

Донецкий государственный

технический университет

Сведения об авторах

1. Галиахметов Алмаз Мансурович

Проспект Победы, 90, кв. 20 г.Горловка, Донецкая обл., Украина, 84646

Домашний телефон: 8-06242-2-14-92

Рабочий телефон: 8-06242-55-34-92

Автомобильно-дорожный институт Донецкого национального

технического университета.

завкафедрой "Общенаучные дисциплины"

к.ф. – м.н., доцент

2. Уколов Алексей Иванович

Ул. Свердлова, 45, кв. 58 г. Славянск, Донецкая обл., Украина

Телефон: 80983644512

Рабочий телефон: 8-06242-55-34-92

Автомобильно-дорожный институт Донецкого национального

технического университета.

Ассистент кафедры "Общенаучные дисциплины"

3. Копыл Андрей Сергеевич

ул. Рокоссовского д. 34. г. Изюм, Харьковская обл., Украина 64305

Тел. 8-05743-2-82-58

Автомобильно-дорожный институт Донецкого национального

технического университета.

Студент IV курса, специальность "Автомобили и автомобильное хозяйство"

---

[R9C1]