Физика/1. Теоретическая физика
К.ф-м.н. Галиахметов А.М., Вазанков
Д.В., Насаченко Р.М.Пасько А.А.
Донецкий национальный технический
университет, Украина
Автомобильно-дорожный
институт
Точно интегрируемая анизотропная модель
в общей теории
относительностиРоль сСкалярногоый потенциала в одноторсионной
космологии
Эйнштейна -Точно
интегрируемая модель в космологии Эйнштейна – Картана
Недавние астрономические и
космологические наблюдения [1, 2] свидетельствуют
в пользу пространственно – плоской Вселенной, которая доминирована темной
энергией и находится на стадии ускоренного расширения. Однако, в
настоящее время, преждевременно полностью пренебрегать
пространственной
кривизной. В этой связи необходимо отметить работы (см, например, [3 - 5]). Характерная
особенность современной космологии – существенно
возросшая
точность измерений, позволяет специалистам, работающим в этой области, говорить
об эпохе "прецизионной космологии" [6, 7]. В этом контексте большой интерес
представляют точные космологические решения, которые дают
возможность выяснить детальную
картину эволюции моделей.
В работе в рамках проблемы выбора
кандидата на роль темной энергии и существования
точно интегрируемых космологических моделей в общей теории
относительности (ОТО) Эйнштейна –
Картана (ТЭК) с
неминимально
связанным скалярным полем [8-13] рассматриваются
анизотропные закрытые модели
для духового (ghost) материальногодухового (ghost) скалярного
поля с учетом его потенциала и
ультрарелятивисткого газа.
Интерес к потенциалу скалярного
поля V(Ф) в
общерелятивистских теориях
гравитации обусловлен рядом обстоятельств:
его ролью в изотропизации анизотропных космологических моделей, его учетом в
моделях с частицеподобными
решениями; модели с V(Ф)
естественно возникают в альтернативных
теориях гравитации и супергравитации, в теориях струн и бран; скалярный потенциал
управляет инфляцией и активно используется в моделях темной материи и
темной энергии
(виды применявшихся V(Ф)
приведены в обзорах
[14, 215]).
Присутствие ультрарелятивистского
газа в качестве дополнительного источника гравитационного поля обусловлено как
тем фактом, что Вселенная, вообще говоря, является многокомпонентной системой,
так и ранее полученными результатами (см., например, [3,4]),
полученными в ОТО и показавшие важность учета этой компоненты в
эволюции космологических моделей.
Точные общие решения аналогичной задачи
без учета потенциала скалярного поля и ультрарелятивистского газа для
произвольных значений параметра неминимальной связи 
ξ были
получены в [516].
Было обнаружено,
что решения возможны лишь для фиксированного параметра
неминимальной связи 
и они описывают для 
ξ > 0 решения допускают либо сингулярные
модели, в которых
расширение достигает
максимума и затем происходит сжатие и реколлапс., либо
несингулярные осциллирующие
модели.
Лагранжиан модели выбираем в виде:
. (1)
Здесь
R(Г) –
скалярная кривизна; связности 
; 
; {
} – символы
Кристоффеля 2-го рода; 
– тензор кручения; 
– гравитационная постоянная Эйнштейна, 
- лагранжиан
ультрарелятивистского газа.
Отметим, что уравнение скалярного поля,
соответствующее лагранжиану (1), в отсутствие
кручения при 
ξ=1/6 и 
V(Ф)=0
будет конформно-инвариантным., а при ξ=
–1/6, 
соответствует
аксионному полю в ОТО [11], которое
может быть ответственно за
скрытую массу Вселенной.
Варьируя действие с лагранжианом (1) по
и 
получим
, (2)
, (3)
ٱ
, (34)
где
,
,
, 
. (45)
Здесь
ٱ – оператор Д'Аламбера
в римановом пространстве, 
; 
; 
, 
- плотность энергии и
давление ультрарелятивистского газа.
В
метрике закрытых однороднойых аниизотропнойых
моделией типа І по Бианки
(56)
для
ультрарелятивистского газа справедливо
, 
, 
(67)
Потенциал
скалярного поля возьмем в виде
, 
(78)
Из полевых
уравнений ОТО следуют выражения для масштабных факторов:Получено
точное частное решение:
Точное частное решение получено в квадратурах:
, (8)
, (9)
, (10)
где 
- постоянные
интегрирования; 
.
Нетрудно
показать, что система уравнений поля допускает первый интеграл
, 
. (11)
Для , 
при
наложении следующих условий:
, 
, (12)
получено точное частное решение
, 
(13)
где 
- постоянная
интегрирования 
, 
, 
, 
. (14)
Решение (13)
справедливо при 
, оно описывает космологическую модель, которая
расширяется от начальной сингулярности, достигает максимума
(
, 
), а затем начинает сжиматься к финальной
сингулярности.
Следует
отметить, что в литературе наряду с 
рассматривались
модели с 
[6-8].
Сравнительный
анализ полученного решения (13) с точным общим решением, найденным в работе [5], показывает,
что учет потенциала скалярного поля и
ультрарелятивистского газа не сказывается на качественном характере эволюции моделей.
, 
, (9) где 
, 
;, 
; , 
- постоянная интегрирования; 
; 
; 
; 
; 
;
, (9)
где 
; 
; 
- постоянная
интегрирования;
; 
; 
; t
– космическое синхронное время 
, 
; > 0;
Решение
описывает несингулярную космологическую модель с деситтеровскими асимптотиками.
Заметим,
что хаббловский параметр модели 
, где 
, при 
может принимать
большие значения. Так как модель получена в рамках
классической теории гравитации, то она будет физически разумна при условии, что
плотность энергии модели 
не превышает планковскую 
. Отсюда следует ограничение
на 
.
Таким
образом, учет потенциала скалярного поля приводит к ускоренному экспоненциальному расширению
Вселенной и ограничению на параметр неминимальной связи .
Для 
> 3
, при условии, что
решение
описывает сингулярные модели с асимптотиками:
, 
; 
, 
.
(10)
где 
для 
, 
для 
; 
.
Таким образом, учет потенциала
скалярного поля создает эффект типа кривизны [12], так как эволюция моделей
характерна не для закрытых, а для открытых моделей, и приводит к ускоренному экспоненциальному расширению 
вселенной.
Литература:
1.
Sahni V., Starobinsky A.A. // IJMP. - 2000. – v. D 9. Riess A.G. et al. // Astron J. – 1998. –
v. 116. – P. 3731009.
2.
Peebles P.J.E., Ratra B. rlmutter S.J. et al. // Rev. Mod. Phys. Astron J. – 20031999. – v. 7517. – P. 59965.
3.
Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Строение и эволюция Вселенной. – М.: Наука,
1975.
4.
Захаров А.В. // ЖЭТФ. – 1979. – т. 77. - № 2. – С.
434.
5.
Galiakhmetov A. M. // Gravitation
and Cosmology. - 2007.
– v.13 – № 3 (51).
– P. 217.
6.
Felder G.N., Frolov A., Kofman L.,
Linde A. // Phys. Rev. D. – 2002.
– v. 66, 023507; hep-th / 0202017.
7.
Kallosh R., Linde A.,
Prokushkin S., Shmakova M. // Phys. Rev. D. – v. 66, 1235503; hep-th /
0208156.
8.
8.
G.Ellis.,
W. Stoerger., P. McEwan.,
P. Dunsby //
Gen. Rel. Grav.
– 2002. – v. 34. – P. 1445.
8.
G.
Efstathiou // Mon. Not. R.
Astron. Soc. – 2003. – v. 343. – P. L 95.
8.
S. del
Campo., R. Herrera., J. Saaverdra // Int. J. Mod.
Phys. – 2005. – v. D 14. – P. 1.
8.
Melchiori
A., Mercini L., Odman C.J., Trodden M. // Phys. Rev. D. – 2003. – v. 68, 043509.
8.
Сажин М.В. // УФН. – 2004. –
т. 174. - № 2. – С. 197 –
205.
8.
Jha R.,
Lord E., Sinha K. // Gen. Relativ. and
Gravit. - 1988. -
v.20. -№6. – P. 565-571.
8.
De Ritis
R., Scudellaro P., Stornaiolo C. // Phys. Lett.- 1988. - v. A126.- №7. –P. 389-392.
8.
Galiakhmetov
A. M. // "GR 14" Abst., August 6-12 1995, Florense, Italy. - P. B75.
8.
Krechet
V.G., Sadovnikov D. V. // Gravitation and Cosmology. - 1997. – v.3. – № 2 (10). – P. 133 –
140.
8.
Галиахметов А.М. // Изв. вузов. Физика. – 2003. –
№ 7. – С. 23-28.
8.
Galiakhmetov
A. M. // Gravitation and
Cosmology. - 2004. – v.10 – № 4
(40). – P. 300 – 304.
8.
Sahni V.,
Starobinsky A.A. // IJMP. – 2000. - v. D 9. – P.
373.
8.
Peebles
P.J.E., Ratra B. // Rev.
Mod. Phys. – 2003. – v. 75. – P.
599.
8.
Galiakhmetov
A.M. // Ukr. J. Phys. – 2004. – v. 49. - № 2. – P. 105 –
109.
e – mail: ints@adi.gorlovka.net
e – mail: tanya1979tinst@adi.gorlovka.netmail.ru
Общеизвестно, что проблемы общей теории
относительности (ОТО) и стандартного космологического сценария стимулировали
разработку других общерелятивистских теорий гравитации. В актуальном варианте
пуанкаре калибровочной теории гравитации
– теории Эйнштейна-Картана (ТЭК), в которой пространство обладает не только
кривизной, но и кручением, удалось достичь некоторого прогресса в устранении
трудностей ОТО (см., например, [1-4]).
В работе в рамка двухторсионной ТЭК, построенной
в [5,
6], рассматриваються закрытые однородные
изотропные космологические модели с неминимально связанным скалярным полем с
нелинейным потенциалом,
ультрарелятивистским
газом и двумя идеальными жидкостями, одна из которых моделирует материю
«жесткого» типа, а вторая является источником
кручения.
Лагранжиан модели L выбираем в виде суммы
лагранжианов: гравитационного – 
, скалярного поля – 
, идеальных жидкостей –
и 
, ультрарелятивистского газа - Lp
(1)
(2)
(3)
Здесь R(Г) – скалярная кривизна связности 
- символы Кристоффеля
2-го рода; 
- тензор
кручения; 
– гравитационная постоянная Эйнштейна ξ –
постоянная неминимальной связи; V(Ф) – потенциал скалярного поля; ρ –
плотность массы жидкости; П(ρ,е) – её внутренняя энергия; k, k1, k2, k3– лагранжевы множители;
Х – лагранжевы координаты частиц материи, e –
удельная энтропия [7]; 
– 4-скорость; 
– ковариантный оператор в пространстве-времени
Римана-Картана. Лагранжианы Lfl(2)
для
жидкости с предельно жестким уравнением состояния и Lp для
ультрарелятивистского
газа не выписаны, так как для них в производной члена, регулирующего сохранение
числа частиц, нет вектора кручения.
Метрический тензор gik имеет
сигнатуру (– , – , – , + ), а тензоры Римана и Риччи определяются
как
. Из (3) следует, что кручение может взаимодействовать с
идеальной жидкостью только через свой след 
(вектор кручения).
Отметим, что лагранжиан (2) в отсутствие кручения
при ξ=1/6 и V(Ф)=0 соответствует
конформно инвариантному скалярному полю.
Замкнутая подсистема уравнений, которая
описывает в рамках ОТО гравитационное взаимодействие ультрарелятивистского
газа, двух идеальных жидкостей и неминимально связанного скалярного поля с
потенциалом V(Ф), соотвествующая лагранжиану L=Lg+Ls+Lfl(1)+Lfl(2)+LP имеет вид:
(5)
где
. (6)
Здесь 
– плотность энергии и
давление жидкости; 
и 
– оператор Д`Аламбера и ковариантная
производная в римановом пространстве, соответственно; 
.
Сворачивая уравнение (к) системы (5) с 
и учитывая соотношения
(d), (f), (g) и (h), получим:
(7)
Из уравнения (d) и (e) системы (5) следует:
(8)
2.Точные
космологические решения
Для пространственно – однородных
изотропных моделей с метрикой
(9)
уравнения (а) и (с)
системы (5) приводятся к виду
(10)
(11)
(12)
где штрих обозначает
дифференцирование по η.
В дальнейшем для
жидкости, которая является источником кручения, ограничимся
рассмотрением вакуумного уравнения состояния:
Тогда
из (5) и (8) получим
(13)
где С1, СΘ
– постоянные
интегрирование (С1>0).
Для жидкости с предельно жестким
уравнением состояния
(14)
Потенциал скалярного поля V(Ф) возьмём в виде:
(15)
где μ, λ
– постоянные; β= +1 соответствует массовому скалярному полю, β= –1
отвечает нелинейности типа Хиггса.
Точные решения получены для
положительных значений эффективной постоянной Эйнштейна
(16)
при
условии, что
(17)
2.1. Решения для
материального 
скалярного поля
Точные частные решения получены в
квадратурах:
(
18)
где
Для ξ>0, β= –1 функции Wi имеют
вид: 
а анализ решения (18)
показывает, что оно описывает несингулярные вселенные двух типов:
(20) (19)
где 
Для
ξ<0, β= +1 функции 
есть 
В этом случае решение
(18) допускает существование несингулярных моделей следующих типов: один из
которых подобен (19), а второй имеет следующие асимптотики:
(21)
2.2.
Решения для «гравитационного» (αs= – 1) скалярного поля
Точное
частное решения для ξ>0, β= +1 получено в квадратурах:
(22)
где D1 – постоянная
интегрирования.
Решение (22) получено в двух картах и
описывает сингулярные модели с асимптотиками:
(23)
Точные частные решения для ξ<0,
β= –1 запишем в виде:
(24)
где 
Анализ (24) показывает, что в этом случае
все модели не имеют начальной сингулярности, а характер их эволюции
определяется значением параметра 
:
а) 
<1/3. Возможны
два сценария эволюции:
при t→ – ∞ масштабный
фактор a и скалярное поле Ф
ведут себя как 
где 
а при 
изменяются по закону (19), и зеркальное поведение – при
t→−∞ а и Ф
измеряются по закону (19), а при 
как 
в) 
=1/3. Решение выражается в элементарных функциях:
(25)
где 
Масштабный фактор а достигает минимального значения 
при
причём 
[R9C1]Для
при t→ – ∞ a и Ф изменяются по
закону 
а при 
как 
Для n= +1 имеем
космологическую модель с зеркальным по отношению к n= –1 поведением.
с) 1/3< 
<1. Решение получено в двух картах: 
. Для 
модель сжимается по
закону 
а затем период сжатия
сменяется расширением, причем а и Ф ведут себя типу (19). Для 
имеет место зеркальное поведение модели.
Для 
=2/3 решение можно представить в элементарных функциях:
(26)
Минимум
масштабного фактора 
достигается при 
причем 
. Заметим, что для скалярного поля Ф получено решение
солитонного типа.
d)c)
=1. Решение выражается в элементарных функциях:
(27)
Решение (27) справедливо для 
и получено в двух
картах: n= +1 для 
, n= –1 для 
. Отметим, что всюду масштабный фактор либо убывает (n= +1),
либо возрастает (n= –1), причем при t→ 
модели ведут себя по
закону (19).
е)
>1. Физически разумных решений нет.
2.3. Решения без скалярного поля
Для выяснения возможных эффектов двух
источников кручения приведем точное общее решение для случая отсутствия
скалярного поля:
(28)
где D2 – постоянная
интегрирования; 
Из (28)видно, что сингулярное решение
получено в двух картах, причем на ранних этапах эволюции масштабный фактор
ведет себя как 
а при 
– по закону 
.
3. Выводы
Сформулируем основные результаты,
полученные в данной работе:
1.0.В одноторсионном
случае, когда источником кручения является идеальная жидкость с вакуумным
уравнением состояния, получено точное общее сингулярное решение, которое имеет
деситтеровскую асимптотику при t→∞.
2.0.В двухторсионном случае
с массовым самодействующим скалярным полем (αs= – 1, β= +1,
ξ>0) найдено точное частное сингулярное решение, для которого начальный
темп расширения модели меньше, чем в одноторсионном случае. Таким образом, учет
второго источника кручения в виде неминимально связанного скалярного поля может
приводить к замедлению начальной космологической эволюции.
3.0.В моделях с двумя
источниками кручения возрастает число различных космологических сценариев,
возможны несингулярные решения как с деситтеровской асимптотикой, так и
отличной от неё. В отличие от одноторсионного случая получены модели, которые
могут иметь либо больший, либо меньший темп расширения при больших значениях
космологического времени.
4.1.Все точные решения в
двухторсионном случае получены лишь при учете жидкости с предельно жестким
уравнением состояния.
СПИСОК
литературЫ
1.Иваненко
Д.Д., Пронин П.И., Сарданашвили Г.А. Калибровочная теория гравитации. – М.:
Изд-во МГУ, 1985.
2.1.Пономарев В.Н.,
Барвинский А.О., Обухов Ю.Н. Геометродинамические методы и калибровочный подход
к теории гравитации. – М.: Энергоатомиздат, 1985.
3.1.Кречет В.Г. Проблемы
гравитационного взаимодействия физических полей в пространствах аффинной
связности: Автореф. дис., … д-ра физ. - мат. наук – Ярославль, 1984.
4.1.Галиахметов А.М. //
Укр. физ. журн. – 1993. – 38,№6. –
С. 807 – 814; 1994. – 39, №11-12. –
С. 1029 – 1032.
5.1.Krechet V.G., Sadovnikov Д.V. // Gravitation & Cosmology.– 1997. – V.З. – №2(10). – P. 133 – 140.
6.1.Мельников В.Н., Радынов
А.Г. // В сб.: Проблемы теории гравитации и элементарных частиц.
Вып. 15. – М.: Энергоатомиздат, 1985. – С. 65 – 72.
Кречет В.Г., Мельников В.Н. // Изв. вузов. Физика –
1991. – 34,
№2
Донецкий государственный
технический университет
Сведения
об авторах
1. Галиахметов Алмаз
Мансурович
Проспект Победы, 90, кв.
20 г.Горловка, Донецкая обл., Украина, 84646
Домашний телефон:
8-06242-2-14-92
Рабочий телефон: 8-06242-55-34-92
Автомобильно-дорожный институт Донецкого
национального
технического университета.
завкафедрой
"Общенаучные дисциплины"
к.ф. – м.н., доцент
2. Вазанков Денис Борисович
Ул. Чубаря, 9, кв. 70 г. Славянск, Донецкая
обл., Украина,
Домашний телефон: 8-06262-2-04-51
Рабочий телефон: 8-06242-55-34-92
Автомобильно-дорожный институт Донецкого
национального
технического университета.
Ассистент кафедры
"Общенаучные дисциплины"
3. Насаченко Роман ВикторовичПасько
Александр Александрович
ул. АртиллеристовБессонова, 6017, кв.
237, г.
Горловка, Донецкая обл., Украина, 846124
Тел. 8-06242-3-50-42
Автомобильно-дорожный институт
Донецкого национального
технического университета.
Студент IV курса, специальность
"Автомобили и автомобильное хозяйство"