Карачун В.В., Мельник В.М.

Національний технічний університет України «КПІ»

Обчислення СТОЯЧИХ ХВИЛЬ В струнІ

У теорії коливань стоячі хвилі в струні прийнято наводити у вигляді суми окремих форм (мод). Так, форма струни в деякий момент часу наводиться у вигляді

(1)

де ,

Р - період першої форми; .

В нашому розпорядженні знаходиться тільки половина періоду . Якщо кінці струни нерухомі, тоді стає очевидним,

Коли інтегрування у виразі (3) виконувати за формулою трапецій з кроком h, орієнтуючись на використання масиву Yt, тоді вираз (3) перетворюється:

. (4)

Ця формула забезпечує необхідну точність, за умови, що період відповідної частоти дорівнює і включає, принаймні, 20 кроків вздовж відповідної координати, тобто –

,

звідки походить умова застосовності формули (4):

. (5)

Щоб отримати можливість обчислювати коефіцієнт формули (3) на більш високих частотах, ніж це дозволяється умовою (5), можна скористатися кубічним сплайном, що формується за масивом Yt.

У модулі SunVar наводиться процедура Spline, яка формує глобальні масиви A0, A1, A2, A3 коефіцієнтів сплайна такої структури

, (6)

де - нормоване значення ,

(7)

Ця задача вирішується шляхом звернення до процедури Spline таким чином –

Spline(Yt).

Інтерполювання, тобто обчислення , виконується викликом підпрограми-функції Splint, наприклад, так: у:=splint(х*m/lng).

Формування масиву В коефіцієнтів для оформлено у вигляді підпрограми-процедури MasBn.

Procedure MasBn(Y:CoefR;n:integer; var В:Coef);

Var F, m, s, z, Sk:integer;

R, Ys, Sum, W1, Hi:real;

Begin

M:=round(Y[- 1]); W1:=Pi/lng;

If n>m/10 then

Spline(Y);

For z:=1 to n do

begin

Sum:=0; Sk:=m; Hi:=Hx; F:=1;

If z>m/10 then

begin

Sk:=10*z; Hi:=lng/Sk; F:=0

end;

For s:=1 to Sk-1 do

begin

If F=1

then Ys:=Y[s]

else Ys:=Splint(s*m/Sk);

Sum:=Sum+Ys*sin(R*s)

end;

У[z]:=Sum*2/Sk

end

End;

Маючи масив Bn, легко сформувати графіки окремої ( - ої) моди або ж суми перших мод. Виконаємо обчислення масивів Ye екранних ординат щойно згаданих графіків у вигляді процедур Mas1 (для n - ої моди) і MasS (для суми перших мод).

Procedure Mas1(Bn:Coef;z:ihteger;var Ye;CoefLi);

Var s:integer;

W:real;

Begin

W:=Pi/l;

For s:=0 to L do Ye[s]:=Y0-round(Bn[z]*sin(z*w*s)/Dy)

End;

Procedure MasS(Bn;Coef;n;integer;var Ye;CoefLi);

Var s, z:integer;

W, у:real;

Begin

W:=Pi/lng;

For s:=0 to L do

begin

Y:=0;

For z:=1 to n do

Y:=Y+Bn[z]*sin(z*w*s);

Ye[s]:=Y0-round(Y/Dy)

end

End;

Таким чином, можна провести чисельний аналіз стоячих хвиль, що виникають у струні. Автоматизація процедури дозволяє всебічно дослідити явище та встановити зони виникнення особливостей резонансної природи.