Технические науки/2.Механика

Цепенюк М. И.

Тернопольский государственный технический университет

имени Ивана Пулюя, Украина

Оптимальное управление приводными механизмами

Современные системы управления электро- и гидроприводными механизмами позволяют обеспечить практически любой закон изменения управляющего воздействия. Поэтому задача теоретического определения оптимального управления приводными механизмами в настоящее время является актуальной и практически реализуемой.

Расчетные схемы большинства электроприводных и гидроприводных механизмов с короткими трубопроводами могут быть представлены в виде двухмассовой системы с невесомым упругим звеном жесткости С ( рис. 1 ).

Рис. 1.

Пусть на ведомую массу m₂ действует постоянная сила сопротивления Pс (она может быть также функцией времени). Определим закон изменения приложенной к ведущей массе m₁ неизвеcтной силы U(t) при условии, что систему необходимо перевести за заданное время Т из состояния движения 1(t=0) в состояние движения 2 (t=T), причем, затраченная на перевод энергия должна быть минимальной. Для выполнения последнего условия необходимо чтобы достигал минимума функционал

. (1)

Это условие можно рассматривать как минимизацию нормы функции U(t), принадлежащей линейному нормированному пространству L₂ (0,T) [1]

. (2)

Запишем уравнения движения исследуемой системы

;, (3)

где S₁, S₂ – обобщенные координаты.

Преобразуя и решая совместно уравнения (3), получим

. (4)

Обозначив S₁-S₂=S, уравнение (4) представим в виде

. (5)

Введем новые переменные и представим уравнение (5) в матричном виде

, (6)

где

; ; ;

; ; .

Решая однородное уравнение

, (7)

получим матрицу фундаментальных решений

(8)

Матрица фундаментальных решений сопряженного к уравнению (7) линейного дифференциального уравнения имеет вид

(9)

Для определения искомой функции управления U(t) используем метод моментов [1]. Задачу решим в наиболее общем виде с начальными и конечными условиями соответственно

; . (10)

Согласно этому методу функция U(t) должна удовлетворять условию

, (11)

где

; .

После подстановки значений выражение (11) примет вид

. (12)

Обозначим

, (13)

(14)

Тогда интегральные зависимости (12) запишем в упрошенной форме

; . (15)

Для определения неизвестной функции U(t), удовлетворяющей зависимостям (15), составим вспомогательную задачу: найти числа , , такие, что

, (16)

при условии

. (17)

Решая совместно уравнения (16) и (17), получим неизвестные , ,

; (18)

; (19)

(20)

Тогда искомое оптимальное управление запишем в виде

. (21)

В качестве примера используем полученные зависимости (13), (14), (18)-(21) для определения функции оптимального управления системы с параметрами: m₁=8 кг; m₂=20 кг; Pc=400 H; C= H/м; y₁₀= м; y₂₀=0,2м/с; м; м/с; Т=4 с; = = 18,7 .

После подстановки значений получим закон изменения движущей силы U(t), позволяющей перевести двухмассовую систему из состояния движения 1 в состояние 2 при минимуме затраченной энергии

U(t) = -1,38sin 18,7t + 2,80cos 18,7t.

В случае, когда механическая расчетная схема не приводится к двухмассовой системе или когда минимизируется другой параметр функции управления (он должен быть ее нормой), задача решается по аналогичной схеме.

Литература:

1. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. – М.: Наука, 1975. – 568 с.