Зыков Н.В., Бондаренко Л.Н., Посмитюха А.П.

Днепропетровский национальный университет железнодорожного транспорта им. акад. В. Лазаряна

МИНИМАЛЬНЫЙ УГОЛ ТРЕНИЯ ПОКОЯ И ТЯГОВОЕ УСИЛИЕ ПРИ КАЧЕНИИ

1. Методика определения коэффициента трения покоя при скольжении приведена во многих учебниках по теории механизмов и машин [1].

Отсутствие аналитических зависимостей для определения коэффициента трения качения не позволяет найти его значение при качении.

Нами [2] получены аналитические зависимости для определения коэффициента трения качения при первоначальном линейном контакте

                                          ,                                      (1)

где  – полуширина пятна контакта;  – радиус цилиндра, м;

и точечном контакте

                                            ,                                        (2)

где  – радиус шара, м.

Найдем сначала коэффициент трения покоя для шара.

Если шар весом  (или приведенной нагрузкой на него) находится на наклонной плоскости с углом  (рис.1), то по нормали к поверхности качения будет действовать сила , а по направлению параллельному плоскости сила .

Составляющая веса  вызовет со стороны плоскости нормальную реакцию , а она в условиях предельного равновесия – силу трения качения

                                                    .                                                (3)

Рис.1. К расчету коэффициента трения покоя при качении.

Поскольку , то

,

где  – коэффициент трения качения предельного равновесия.

Если , то равновесие невозможно и шар будет двигаться равноускоренно вниз; если  шар будет находиться в покое; если  шар будет находиться в состоянии предельного равновесия.

Найдем величину , для состояния предельного равновесия, из величины наибольших контактных напряжений. При равенстве модулей упругости материалов шара и плоскости и коэффициенте Пуассона
равном  [3]

                                              .                                          (4)

Полуширина пятна контакта

                                                 .                                             (5)

Теперь коэффициент трения качения, для шара, определится из выражения

                                       .                                   (6)

Поскольку , то из формулы (3) получим, что

                                       .                                   (7)

или

                                                  .                                              (8)

Зависимости  от допускаемых контактных напряжений показаны на рис. 2 при   мм.

Рис.2. Зависимость минимального угла трения покоя и коэффициента трения качения от допускаемых контактных напряжений: 1, 1' – α0 для шара и цилиндра одинакового объема; 2, 2' – соответственно

Если цилиндр длиной , то формула (4) принимает вид

                                            ,                                      (4а)

а формула (5)

                                                .                                           (5а)

Величина  определяется из выражения

                                       ,                                 (7а)

и величина  определяется формулой (8).

2. Найдем опытное определение коэффициента трения качения в движении.

Для трения скольжения эта задача решена Л. Эйлером в 1750 г.

Если угол наклона плоскости  больше величины , то шар под действием постоянной силы  будет двигаться равноускоренно вниз.

Сила трения качения  и подставляя эти значения для силы , получим

                                          .

Если  – масса шара, a  ускорение в направлении силы, то  и поскольку при равноускоренном движении,  то  и

,

или

,

а угол наклона плоскости равен

                             .                         (9)

Для цилиндра формула (9) имеет вид:

                             .                       (9а)

Отметим, что формулы (7), (7а), (9) и (9а) справедливы при величине контактных напряжений равных допускаемым.

3. Найдем удельное тяговое усилие при качении.

При равномерном движении шара должно быть соблюдено равенство , (рис. 3), где  – сила трения, вызванная нормальным давлением .

Поскольку , то

Рис. 3. К определению удельного тягового усилия для шара

                                           .                                     (10)

Поскольку для шара , где  – угол трения качения

.

Удельное тяговое усилие, приходящееся на единицу длины перемещения шара:

.

Знаменатель уравнения (10) принимает максимальное значение, когда дифференциал знаменателя будет равен нулю, т.е.

                                                 .                                          (11)

Величина  для шара определяется выражением (6), поэтому:

                                    ,                              (12)

откуда

                                         ,                                   (13)

и совпадает, что естественно, с выражением (7).

Зависимость угла  от допускаемых контактных напряжений совпадает с их величинами, показанными на рис. 2.

Анализ полученных зависимостей и графиков позволяет сделать следующие выводы:

– предложенная методика позволяет аналитически определить минимальный угол трения покоя и тяговое усилие при качении;

– коэффициент трения качения покоя шара и цилиндра увеличиваются с увеличением допускаемых контактных напряжений и, например, при радиусе шара  мм разница при  и
 МПа составляет 200% для шара и для цилиндра одинаковых объемов;

– предложенная методика может быть использована и при других схемах контакта.

Литература:

1. Колчин Н.И., Мовнин М.С. Теория механизмов и машин / Л.: Судпром-издат, 1962. – 615 с.

2. Бондаренко Л.М. Аналітично-експерементальне визначення коефіцієнта тертя кочення / Будівництво України, 2001, №5 – с. 47 - 48.

3. Справочник по сопротивлению материалов / Писаренко Г.С.,
Яковлев А.П., Матвеев В.В. – Киев: Наукова думка. 1988. – 736 с.