Мельник В.М., Карачун В.В.

Національний технічний університет України «КПІ»

ПЛАСТИНА НА МЕЖІ ДВОХ АКУСТИЧНИХ НАПІВПРОСТОРІВ

У тому випадку, коли , , що відповідає рівномірно розподіленому акустичному навантаженню на всю площину, узагальнена сила має вигляд:

(1)

Поза сумніву, що для парних значень величин та узагальнена сила дорівнює нулю, тобто:

. (2)

Навпаки, для непарних значень –

. (3)

Обчисливши тепер максимальну роботу , яку виконує падаюча хвиля звукового тиску, за формулою

, (4)

можна встановити закон згинних коливань пластини виходячи з умови екстремальних її властивостей при згині:

. (5)

За необхідності врахування дисипації енергії, обумовленої внутрішнім тертям, досить прийняти до уваги роботу цих сил –

, (6)

де

; (7)

– коефіцієнт внутрішнього тертя; – коефіцієнт втрат.

Просторово-частотний резонанс. Припустимо, що

; .

Це свідчить, про наявність співпадання числа напівхвиль акустичного випромінювання і генеруємої в пластині вібрації у двох напрямках – вздовж осі () та вздовж осі ().

Приймаючи до уваги відомі значення потенціальної і кінетичної енергій, а також роботи акустичної хвилі

;

; (8)

,

та виходячи з умови екстремальності (6), з’ясуємо для кожної пари індексів та величину згину –

, (9)

де – власна частота.

Очевидно, що за умови, коли має місце рівність

,

прогин пластини нескінченно зростає і вона стає акустично «прозорою», а підводний апарат не реєструється на екрані.

Підставляючи значення узагальненої сили в диференціальне рівняння руху, можна встановити закон згинних коливань пластини на - й формі за умови неперервної дії звукового випромінювання в інтервалі часу . Він містить власні і вимушені коливання:

(10)

Остаточно, з огляду на співвідношення (10), одержуємо:

(11)

де ;

.

Аналогічно для випадку рівномірно розподіленого по площині пластини акустичного навантаження. Для цього слід співвідношення (3) підставити в рівняння руху. Одержуємо –

. (12)

Тепер можна визначити згинний рух:

, (13)

де та – непарні.

Для пластини обмежених розмірів згинний рух можна навести у вигляді суперпозиції вимушених коливань для необмежених її розмірів та вільних, які виникають в пластині з урахуванням її розмірів.

Якщо імпеданс пластини на –ій формі навести у вигляді

, (14)

тоді стає очевидним, що навіть за виконання умови хвильового співпадіння

,

але за відсутності рівності частот власних коливань пластини обмежених розмірів і частот вимушених коливань необмеженої пластини, прогини будуть мати конкретну величину. Акустично «прозорою», тобто за прояву , вона стане лише при одночасному виконанні двох умов –

(15)

Чисельний аналіз доводить, що максимальні прогини (рис. 1) пластина має на першій, найнижчій, формі, тобто при

; .

Очевидно, що чим вище номер форми, тим складніший рух. Кількість екстремумів визначається добутком .

За непарних , величини прогинів значно більші. Отже, ці форми активно сприяють інтенсивній перекачці звукової енергії.