Экономические науки/ 8.Математические методы в экономике.

К.е.н. Коваленко О.Ю.

Метод лінійного програмування в економічному аналізі

Миколаївський національний університет імені В.О. Сухомлинського, Миколаїв, Україна

Термін “програмування” виник в технічній та економічній галузі знань в 60-е роки XX в. і асоціюється у першу чергу з процесом підготовки комп’ютерних програм. Крім того, “програмування” використовується як синонім термінів “планування” і “прогнозування” [3, c. 69] і охоплює методи розробки планів і програм діяльності підприємства з метою її оптимізації.

Метод лінійного програмування набув значного поширення в прикладних економічних дослідженнях, оскільки наочно ілюструє процес розподілу ресурсів в умовах жорстких їх обмежень. За допомогою лінійного програмування в аналізі фінансово-господарської діяльності розв’язується задачі пошуку оптимальних параметрів ефективного використання наявних ресурсів.

Суть методу лінійного програмування полягає в пошуку максимуму або мінімуму вибраної відповідно до інтересів аналітика цільової функції при наявних обмеженнях. Проведення економічного аналізу методом лінійного програмування вимагає:

1)     наявності системи взаємозалежних обставин факторів виробництва;

2)     точного формулювання обмежуючих умов виробництва;

3)     установлення критерію економічної ефективності [5, c. 171].

Формулювання задачі лінійного програмування виконують з наступним алгоритмом:

Необхідно знайти значення керованих змінних x1; x2;… ; xn, що перетворюють у екстремум значення цільової функції [5, c. 172]:

                                                                                                    (1)

при заданих умовах

                                                    

                                                                                                      (2)

де Сі – коефіцієнти при керованих змінних у цільовій функції;

аij – коефіцієнти при керованих змінних в обмеженнях;

Вj – частини обмежень, що розташовані праворуч у рівнянні;

m – кількість обмежень;

n – кількість змінних.

Розглянемо приклад: підприємство виробляє два виду продукції – А та В. Ціна реалізації А – 60 грн. за одиницю, В – 50. Розрахувати оптимальні річні обсяги виробництва продукції А та В, щоб виручка від реалізації була максимальною. Відомо, що обмеження з потужності обладнання складає 300 одиниць продукції у рік. На закупівлю сировини підприємство може витрачати не більше 9000 тис. грн. на рік.

Нехай х – оптимальна кількість виробленої продукції А за рік, у – кількість продукції В. Таким чином сумарна виручка від реалізації складе:

60х + 50у.

Розв’язання задачі потребує пошук такої комбінації значень х1 та х2, щоб забезпечити максимум функції: 60х + 50у → max.

Існує обмеження виробничої потужності:

х + у ≤ 300.

Для виготовлення продукції А використовують 70% ресурсу 1 та 30% ресурсу 2. Для виготовлення продукції В використовують 20% ресурсу 1 та 80% ресурсу 2. Вартість ресурсу 1 – 38 грн. за кг, ресурсу 2 – 24. Таким чином, собівартість ресурсів, необхідних для виготовлення одиниці продукції А складає 0,7 ∙ 38 + 0,3 ∙ 24 = 33,8, В – 0,2 ∙ 38 + 0,8 ∙ 24 = 26,8.

Враховуємо фінансові обмеженнями на закупівлю сировини:

33,8х + 26,8у ≤ 9000.

При цьому обсяги виробництва не можуть бути від’ємними, тому лінійна модель набуває наступного вигляду:

60х + 50у → max

х + у ≤ 300

33,8х + 26,8у ≤ 9000

х ≥ 0; у ≥0.

Знайдемо можливі значення х1 та х2 за допомогою графічного способу. Знайдемо на площині (х, у) область, відповідну всім чотирьом обмеженням.

Рис. 1 Пошук рішення задачі лінійного програмування

Пряма 1: у ≤ 300 – х; пряма 2: у ≤ 335,82-1,2х.

К1 : у ≤ К1-1,2х

К2 : : у ≤ К2-1,2х

К3 :  у ≤ К3-1,2х

К1 >К2 >К3.

На рис. 1 пряма 1 відповідає виробничому обмеженню, пряма 2 – фінансовому (9000 : 33,8 = 266,27; 9000 : 26,8 = 335,82); двом останнім обмеженням відповідають осі х, у. Таким чином, значення, які відповідають усім визначеним обмеженням, розташовані у заштрихованій області.

Тепер потрібно знайти значення Кі, яке б дозволило максимізувати цільову функцію у заштрихованій області. Для цього розглянемо множину функцій виду:

60х + 50у = Кі ↔ Кі – 1,2 х.

Таким чином, чим вище за напрямом стрілок від центру координат знаходиться пряма, тим більшому значенню Кi вона відповідає.

Тому на заштрихованій області функція (60х + 50у) отримає максимальне значення в точці перехрещення прямих 1 та 2. Відповідно, координати цієї точки є тим оптимальним рішенням, що максимізує цільову функцию.

Далі потрібно вирішити систему рівнянь:

Отримаємо:

Перевіряємо:

300-179,1 = 335,82-(1,2∙179,1) = 120,9.

Таке співвідношення обсягів виробництва продукції А та В дозволить  отримати максимальний прибуток.

 

Література:

1.       Вітлінський В.В. Математичне програмування: [навч.-метод. посібник для самост. вивч. дисц.] / В.В. Вітлінський, С.І. Наконечний, Т.О. Терещенко. – К.: КНЕУ, 2001. – 248 с.

2.       Казарєзов А.Я. Дослідження операцій: [навчальний посібник. – Частина І. Математичне програмування] / А.Я. Казарєзов, Ю.Ю. Верланів. – Миколаїв: Вид-во МДГУ ім. Петра Могили, 2002. – 84 с.

3.       Ковалёв В.В. Анализ хозяйственной деятельности предприятия: [учебник] / В.В. Ковалёв, О.Н. Волкова. – M.: OOO “ТК Вели”, 2002. – 424 с.

4.       Наконечний С.І. Математичне програмування: [навч. посіб.] / С.І. Наконечний, С.С. Савіна. – К.: КНЕУ, 2003. – 452 с.

5.       Теорія економічного аналізу: [навч. посіб.] / [Бабець Є.К., Горлов М.І., Жуков С.О., Стасюк В.П.] – К.: ВД “Професіонал”, 2007. – 384 с.