Математика / 4. Прикладная математика
Зычкова Е.Э., Мотайло А.П., Тулученко Г.Я., Хомченко
А.Н.
Херсонский
национальный технический университет, Украина
Базисы икосаэдра на основе комбинаций
поверхностей вращения и плоскостей
Постановка
проблемы. Алгебраический подход к
построению интерполяционных базисов для фиксированной группы узлов и выбранного
типа базисных функций приводит к единственному решению задачи или констатации
факта отсутствия решения, т.е. невозможности построения базиса, удовлетворяющего
указанным требованиям [1].
Геометрический поход в этом же случае
часто позволяет находить множество (конечное или бесконечное) решений, что
открывает возможности для решения задачи в оптимизационной постановке:
определить базис с наилучшими аппроксимационными свойствами [2].
Анализ
предшествующих публикаций. В рамках
геометрического подхода авторами изучаются возможности построения
интерполяционных базисов для системы узлов в вершинах икосаэдра на основе
поверхностей вращения. В работе [3] построен и исследован базис икосаэдра на
основе гармонической поверхности вращения третьего порядка, а в работе [4] – на
основе комбинации уравнений однополостного гиперболоида и плоскости.
Цель
публикации. Рассмотреть новые (по
сравнению с работами [3-4]) сочетания вершин икосаэдра, которые являются инцидентными
поверхностям вращения и плоскостям. Построить базисные функции для этих случаев
и исследовать аппроксимационные свойства новых базисов.
Основная
часть. Для сохранения единого подхода
к изложению материала продолжим рассмотрение построения базиса икосаэдра на
примере базисной функции для узла
(рис. 1).
Рис. 1. Икосаэдр |
В работе [3] поверхность нулевого уровня
базисной функции В работе [4] поверхность нулевого уровня
базисной функции |
который проходит через две группы вершин и
, и плоскости, перпендикулярной оси вращения гиперболоида и
проходящей через вершину
.
Рассмотрим два других случая сочетания
вершин:
1)
поверхность нулевого
уровня базисной функции проходит через
вершины
и
, а плоскость через вершины
;
2)
поверхность нулевого
уровня базисной функции проходит через
вершины
и
, а плоскость через вершины
.
Таким образом, уравнение базисной функции в системе координат
как на рис. 1 будет иметь вид:
|
(1) |
где ; коэффициенты
находятся из системы
(2) или (3):
|
(2) |
|
(3) |
каждая из которых описывает условия (соответствующие
рассмотренным выше случаям 1) и 2)) удовлетворения функцией (1)
интерполяционной гипотезе Лагранжа.
Первый множитель в формуле (1) является
уравнением поверхности вращения. Второй множитель является уравнением
плоскости. Он обращается в ноль для группы узлов
(в этом случае
) и для группы узлов
(в этом случае
).
В результате решения систем (2-3) для
функции (1) получаем два базиса икосаэдра (4) и (5). Графики поверхностей
уровня для нескольких значений базисной функции представлены в табл. 1.
Таблица 1
Поверхности уровня базисной функции
Базис (4) |
Базис (5) |
|
|
|
|
Продолжение табл. 1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
|
||
|
||
|
||
|
||
|
|
|
(5) |
|
||
|
||
|
||
|
||
|
Выводы
и перспективы дальнейших исследований.
Все, рассмотренные авторами, базисы, учитывая предшествующие публикации [3-4],
имеют матрицу Грама с одним и тем же
числом обусловленности в норме метрики
. В тоже время значения определителей матриц Грама
для этих базисов
различны. Их распределение представлено на рис. 2.
Рис. 2. Значения определителей матриц Грама для разных
базисов икосаэдра:
1 — базис на основе комбинаций уравнений
однополостного гиперболоида и плоскости [4]; 2 — базис (4); 3 — базис на основе
гармонических поверхностей вращения третьего порядка [3]; 4 — базис (5).
Очевидно, что все рассмотренные базисы
имеют практически равный положительный прогноз своих аппроксимационных качеств.
Вопрос о приоритете должен решаться, исходя из условий конкретной задачи.
Литература
1.
Березин И.С. Методы
вычислений. Т. 1 / И.С. Березин, Н.П. Жидков. — М.: Наука, 1966. — 632 с.
2.
Астионенко И.А. Серендиповы элементы: ретроспектива и современные
концепции / И.А. Астионенко, А.Н. Хомченко // Проблемы информационных технологий. — 2009. — №1 (005). — С. 140—144.
3.
Зычкова Е.Э.
Гармонический базис икосаэдра на основе поверхностей вращения [Электронный
ресурс] / Е.Э. Зычкова, А.П. Мотайло,
Г.Я. Тулученко, А.Н. Хомченко // Материалы VII Международной научно-практической конференции
"Наука: теория и практика". Серия: Математика: Прикладная математика
(7-15 августа 2011 г.). — Пшемысль, Польша: Sp. z o.o. "Nauka
I studia", 2011. — Т. 9. Технические науки. Математика. Физика.
Строительство и архитектура. Физкультура и спорт. — С. 67—73. — Режим доступа: http://www.rusnauka.com/Page_ru.htm.
4.
Зычкова Е.Э. Геометрический
подход к построению базиса икосаэдра: комбинация однополостного гиперболоида и
плоскости [Электронный ресурс] / Е.Э. Зычкова,
А.П. Мотайло, Г.Я. Тулученко, А.Н. Хомченко // Материалы VII Международной научно-практической конференции
"Восточное партнерство". Серия: Математика: Прикладная математика
(7-15 сентября 2011 г.). — Пшемысль, Польша: Sp. z o.o. "Nauka
I studia", 2011. — Т. 10. Технические науки. Математика.
Физика. Строительство и архитектура. Физкультура и спорт. — Режим доступа:
http://www.rusnauka.com/Page_ru.htm.