Ленюк М.П., Щипковський-Бідюк О.В.

Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера – Бесселя – (Конторовича-Лєбєдєва) на полярній осі

Побудуємо обмежений на множині

розв'язок сепаратної системи звичайних диференціальних рівнянь Ейлера, Бесселя та (Конторовича-Лєбєдєва)

,

, (1)

за умовами спряження

(2)

У рівностях (1), (2) , , , , ; – диференціальний оператор Ейлера [1], – диференціальний оператор Бесселя [2], – диференціальний оператор Конторовича-Лєбєдєва [3]:

,

.

Фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння Ейлера складають функції та [1]; фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння Бесселя складають модифіковані функції Бесселя та [2]; фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння (Конторовича-Лєбєдєва) складають модифіковані функції Бесселя та [3].

Наявність фундаментальної системи розв'язків дозволяє побудувати розв'язок крайової задачі (1), (2) методом функцій Коші [1,4]:

,

, (3)

.

Тут – функції Коші [1,4]:

(4)

(5)

(6)

Функції, які беруть участь в рівностях (4) – (6), загальноприйняті [5,6].

Умови спряження (2) для визначення величин та дають алгебраїчну систему з чотирьох рівнянь:

;

(7)

У системі (7) беруть участь функції

та символ Кронекера [7] .

Введемо до розгляду функції:

,

,

.

Припустимо, що виконана умова однозначної розв'язності даної крайової задачі (1), (2): для будь-якого ненульового вектора визначник алгебраїчної системи (7)

(8)

Тут прийняті позначення: , , .

Визначимо головні розв'язки крайової задачі (1), (2):

1) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

;

,

;

,

,

, (9)

,

;

2) породжені неоднорідністю системи (1) функції впливу

,

,

,

, (10)

,

,

,

,

.

У результаті однозначної розв'язності алгебраїчної системи (7), підстановки одержаних значень величин та у формули (3) й низки елементарних перетворень маємо єдиний розв'язок крайової задачі (1), (2):

(11)

Побудуємо тепер розв'язок крайової задачі (1), (2) методом інтегрального перетворення, породженого на множині гібридним диференціальним оператором (ГДО)

, (12)

- одинична функція Гевісайда [4].

Оскільки ГДО самоспряжений і має одну особливу точку , то його спектр дійсний та неперервний [8]. Можна вважати, що спектральний параметр . Йому відповідає спектральна вектор-функція

(13)

При цьому функції повинні задовольняти відповідно диференціальні рівняння

,

, (14)

та однорідні умови спряження

(15)

Тут .

Фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння Ейлера складають функції та [1]; фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння Бесселя складають функції Бесселя та [2]; фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння складають функції та [3].

Якщо покласти

,

, (16)

,

то згідно умов спряження (15) маємо для визначення величин та алгебраїчну систему:

,

(17)

Введемо до розгляду функції:

,

.

У результаті стандартного розв'язання [7] алгебраїчної системи (17) й підстановки отриманих значень величин та у рівності (16) маємо функції:

,

,

. (18)

Отже, спектральна вектор-функція визначена.

Визначимо числа

, , ,

вагову функцію

(19)

та спектральну щільність

. (20)

Наявність спектральної вектор-функції , вагової функції та спектральної щільності дозволяють визначити пряме й обернене гібридне інтегральне перетворення (ГІП), породжене на множині ГДО [9]:

, (21)

, (22)

, (23)

.

Єдиний розв'язок крайової задачі (1), (2), побудований методом запровадженого формулами (21) – (23) ГІП за відомою логічною схемою [5], має структуру:

(24)

,

.

Порівнюючи розв'язки (11) та (24) в силу єдиності, маємо наступні формули обчислення невласних інтегралів:

(25)

(26)

(27)

Підсумком виконаних в роботі розрахунків є твердження.

Основна теорема. Якщо вектор-функція

неперервна на множині , функції задовольняють умови обмеження

,

та умови спряження (2) і виконується умова (8) однозначної розв'язності крайової задачі (1), (2), то справджуються формули (25) – (27) обчислення невласних інтегралів за власними елементами ГДО , визначеного рівністю (12).

Література:

1. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468с.

2. Ленюк М.П. Исследование основных краевых задач для диссипативного волнового уравнения Бесселя. – Киев, 1983. – 62с. – (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 83.3).

3. Ленюк М.П., Міхалевська Г.І. Інтегральні перетворення типу Конторовича-Лєбєдєва. – Чернівці: Прут, 2002. – 280с.

4. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328с.

5. Ленюк М.П., Щипковський-Бідюк О.В. Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридних диференціальних операторів Ейлера – (Фур'є, Бесселя). – Львів, 2009. – 64с. – (Препринт / НАН України. Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача; 01.09). – Чернівці: Прут, 2009.

6. Ленюк М., Шелестовська М. Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Фур'є – Ейлера – (Конторовича-Лєбєдєва) на декартовій осі // Вісник Тернопільського державного технічного університету імені І. Пулюя. – ТДТУ, 2009. – Том 14, № 2. – С. 129 - 136.

7. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1971. – 432с.

8. Ленюк М.П., Шинкарик М.І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур'є, Бесселя, Лежандра). Частина 1. – Тернопіль: Економ. думка, 2004. – 368с.

9. Ленюк М.П. Гібридні інтегральні перетворення типу Ейлера – (Фур'є, Бесселя). – Львів, 2009. – 76с. – (Препринт / НАН України. Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача; 02.09). – Чернівці: Прут, 2009.