Ленюк М.П., Федорук Л.О.

Чернівецький факультет НТУ «ХПІ»,

Київський національний економічний університет

Підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора

Фур'є – Лежандра – (Конторовича-Лєбєдєва)

на полярній осі

Побудуємо обмежений на множині

розв'язок сепаратної системи звичайних диференціальних рівнянь другого порядку Фур'є, Лежандра й (Конторовича-Лєбєдєва) для модифікованих функцій

,

, (1)

за крайовими умовами

(2)

та умовами спряження

(3)

У рівностях (1) беруть участь диференціальні оператори Фур'є [1] , Лежандра [2] , Конторовича-Лєбєдєва [3] :

.

Припускаємо, що виконані умови на коефіцієнти: , , , , , , , ; , .

Фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння Фур'є утворюють функції та [1]; фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння Лежандра утворюють узагальнені приєднані функції Лежандра та [2]; фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння (Конторовича-Лєбєдєва) утворюють модифіковані функції Бесселя та [3].

Наявність фундаментальної системи розв'язків дозволяє побудувати розв'язок крайової задачі (1) – (3) методом функцій Коші [1,4]:

,

, (4)

.

У рівностях (4) – функції Коші [1,4]:

; (5)

; (6)

. (7)

Крайова умова в точці та умови спряження (3) для визначення величин та дають неоднорідну алгебраїчну систему з п'яти рівнянь:

. (8)

У системі (8) беруть участь функції

,

та символ Кронекера [5] .

Введемо до розгляду функції:

,

,

.

Припустимо, що виконана умова однозначної розв'язності крайової задачі (1) – (3): для будь-якого ненульового вектора визначник алгебраїчної системи (8) [5]

. (9)

Визначимо головні розв'язки крайової задачі (1) – (3):

1) породжені крайовою умовою в точці функції Гріна

,

, (10)

;

2) породжені умовами спряження функції Гріна

,

; (11)

,

;

;

,

,

;

3) породжені неоднорідністю системи (1) функції впливу

,

,

,

,

, (12)

,

,

.

У результаті однозначної розв'язності алгебраїчної системи (8), підстановки отриманих значень та у рівності (4) і низки елементарних перетворень маємо єдиний розв'язок крайової задачі (1) – (3):

(13)

Побудуємо тепер розв'язок крайової задачі (1) – (3) методом інтегрального перетворення, породженого на множині гібридним диференціальним оператором (ГДО)

, (14)

- одинична функція Гевісайда [4].

Оскільки ГДО самоспряжений і на множині не має особливих точок, то його спектр дійсний та дискретний [6]. Знайдемо власні елементи (власні числа й відповідні їм власні вектор-функції) ГДО . З цією метою знайдемо обмежений на множині ненульовий розв'язок сепаратної системи звичайних диференціальних рівнянь Фур'є, Лежандра й (Конторовича-Лєбєдєва) для звичайних функцій

,

, (15)

за однорідними крайовими умовами

(16)

та однорідними умовами спряження

(17)

У рівностях (15) – (17) спектральний параметр, функції – компоненти спектральної вектор-функції

. (18)

Фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння Фур'є складають функції та [1]; фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння Лежандра складають функції та , [2]; фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння Конторовича-Лєбєдєва складають функції та [3].

Якщо покласти

,

, (19)

,

то крайова умова в точці і умови спряження (17) для визначення п'яти величин та дають однорідну алгебраїчну систему з п'яти рівнянь:

,

(20)

Алгебраїчна система (20) має ненульовий розв'язок тоді й тільки тоді, коли її визначник рівний нолю [5]:

(21)

У рівності (21) беруть участь функції:

;

.

Корені трансцендентного рівняння (21) складають дискретний спектр ГДО [6]: дійсні, різні, симетричні відносно й на піввісі утворюють монотонно зростаючу числову послідовність з єдиною граничною точкою .

Підставимо в систему (21) й відкинемо перше рівняння в силу лінійної залежності.

Введемо до розгляду функції:

,

,

У результаті стандартного розв'язання алгебраїчної системи з рівнянь, що залишилися, й підстановки одержаних значень та у рівності (19) маємо функції:

,

(22)

Отже, власні елементи ГДО визначені.

Згідно з роботою [6] маємо твердження:

1) система власних функцій ортогональна на множині з вагового функцією

, (23)

повна й замкнена; , , ;

2) будь-яка вектор-функція з області визначення ГДО зображається за системою абсолютно й рівномірно збіжним на множині рядом Фур'є:

(24)

Тут бере участь квадрат норми власної вектор-функції ГДО

(25)

Ряд Фур'є (24) визначає пряме та обернене скінченне гібридне інтегральне перетворення (СГІП), породжене на множині ГДО [6]:

(26)

(27)

У рівності (26) прийняті позначення:

,

.

В основі застосування запровадженого формулами (26), (27) СГІП знаходиться основна тотожність інтегрального перетворення ГДО :

+

; (28)

Єдиний розв'язок крайової задачі (1) – (3), побудований за відомою логічною схемою [7] методом запровадженого формулами (26), (27) СГІП, має структуру:

(29)

У рівності (29) прийняті позначення:

,

.

Порівнюючи розв'язки (13) та (29) в силу єдиності, одержуємо наступні формули підсумовування поліпараметричних функціональних рядів:

, (30)

(31)

(32)

(33)

Зауважимо, що вибором параметрів можна безпосередньо одержати із загальних структур (30) – (33) будь-який частковий випадок (в рамках даної конструкції).

Підсумком виконаних розрахунків є твердження.

Теорема. Якщо функція неперервна на множині , а функції задовольняють крайові умови

(34)

та умови спряження (3) і виконується умова (9) однозначної розв'язності крайової задачі (1) – (3), то справджуються формули (30) – (33) підсумовування поліпараметричних функціональних рядів за власними елементами ГДО , визначеного рівністю (14).

Література:

1. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468с.

2. Конет І.М., Ленюк М.П. Інтегральні перетворення типу Мелера-Фока. – Чернівці: Прут, 2002. – 246с.

3. Ленюк М.П., Міхалевська Г.І. Інтегральні перетворення типу Конторовича-Лєбєдєва. – Чернівці: Прут, 2002. – 280с.

4. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328с.

5. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1971. – 432с.

6. Комаров Г.М., Ленюк М.П., Мороз В.В. Скінченні гібридні інтегральні перетворення, породжені диференціальними рівняннями другого порядку. – Чернівці: Прут, 2001. – 228с.

7. Ленюк М.П. Підсумовування поліпараметричних функціональних рядів за власними елементами гібридних диференціальних операторів (Фур'є, Бесселя, Лежандра). Том VI. – Чернівці: Прут, 2006. – 376с.