Р.А.Медетбекова, А.А.Шалданбаева

 

Казахстан, г.Шымкент, ЮКГУ им. М.Ауезова

 

О распространении сигналов по разрывной струне

 

 

1.                ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Рассмотрим свободные колебания струны с закрепленными концами в точках  и . Предположим, что в некоторой точке  лежащей между 0 и 1. Если при этом струна сохранила свою энергию, то она продолжает колебаться по инерции. Качество звука при этом естественно меняется. Возникает вопрос, можно ли по составу звука определить точку разрыва струны?

         Отметим, что методы и результаты гармонического анализа, а также спектральной теории дифференциальных операторов с успехом применяется в теории распространении сигналов, звуков и информации, о чем свидетельствует не полный перечень работ [1-8].

         Настоящая работа посвящена к изучению, поставленной выше задачи, с помощью спектральной теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и является приложением результатов работы [9].

2.    ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ.

ЛЕММА 2.1. а) Если  вещественная величина, то каждое решение уравнения

                                                                                                    (2.1)

является решением уравнения Штурма-Лиувилля

                                                                                                          (2.2)     

         б) Пространство решений уравнения (2.1) является одномерным.

         в) Общее решение уравнения (2.1) имеет следующий вид

                                      ,                                 (2.3)

где - произвольная постоянная.

ЛЕММА 2.2. а) Если , то задача  Коши

                                                                                     (2.4)

                                                                                                                           (2.5)

имеет бесконечное множество вещественных собственных значений

                                                                                (2.6)

и соответствующих им собственных функций

                                                                        (2.7)

которые образуют ортонормированный базис пространства  и не полны в пространстве .

б) Если , то собственные функции краевой задачи (2.4)-(2.5) образуют базис Рисса пространства .

в) Если , то собственные функции краевой задачи (2.4)-(2.5) образуют ортонормированный базис пространства.

г) Если , то задача Коши (2.4)-(2.5) вольтеррова т.е., не имеет собственных значений.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. а) Подставив (2.3) в краевое условие (2.5), имеем

                                     

поскольку , то

 

Используя равенств , преобразуем полученную формулу к виду

                           

Нетрудно заметить, что решениями уравнения

                           

являются функции

                                      .

Подставив это выражение в граничное условие (2.5), имеем

                           

где - произвольные постоянные.

Полагая

          

можно объеденить полученные серии собственных значений и собственных функций. Нетрудно убедиться, что отрицательные индексы не дают новых собственных функций, поэтому можно ограничиться, лишь, неотрицательными индексами. Полнота полученной системы  ,  собственных функций является следствием полноты системы в  . Вычисление нормировочных коэффициентов  не составляют труда и они находятся по формуле

                                              

Ортогональность полученной системы функции следует из того, что они одновременно являются собственными функциями симметричной краевой задачи Штурма-Лиувилля:

                                     

                                     

б) Если , то , поскольку система собственных функций  полна в . Продолжив функцию  из  нулем на отрезок , можем считать ее элементом пространства   и разложить в ряд по ортонормированной системе, который сходится по норме пространства , но они уже не ортогональны в пространстве , поэтому составляют базис Рисса этого пространства.

в) Этот пункт является частным случаем пункта а).

г) Если ,  то  ,      , ,    ,

поэтому  в  силу  теоремы  единственности  решения  задачи  Коши  имеет место  тождество 

.

         ЛЕММА 2.3.

         а) Если , то задача Коши

                                                                                                    (2.8)

                                                                                                                           (2.9)

имеет бесконечное множество вещественных собственных значений

                                                                       (2.10)

и соответствующих им собственных функций

                                                    (2.11)

которые образуют ортонормированный базис пространства .

б) Если , то собственные функции задачи Коши (2.8)-(2.9) образуют базис Рисса пространства .

в) Если , то задача Коши (2.8)-(2.9) вольтеррова.

г) Если , то задача Коши (2.8)-(2.9) имеет полную и ортогональную систему собственных векторов, которые после нормировки образуют базис пространства .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. а) Доказывается аналогично лемме 2.2.

б) Если , то , поэтому . Следовательно, . Любую функцию  из  можем разложить нулем на промежуток  и считать ее элементом пространства . Полученную функцию разложим в ряд Фурье по собственным функциям задачи (2.8)-(2.9), который сходится по норме пространства    . Тогда этот ряд сходится и по норме пространства , поскольку члены ряда уже не ортогональны, то это есть базис Рисса.  

в) Если , то из равенств

                                                        

выводим, что ,  Следовательно, по теореме единственности решения задачи Коши  .

            г) Этот пункт является следствием леммы 2.2.

         3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

         Из результатов леммы 2.3 видно, что  краевая задача (2.8)-(2.9) моделирует колебания струны на отрезке . Это видно из того, что решение этой краевой задачи одновременно является решением задачи Штурма-Лиувилля:

                                                                                                                                                                    

                                          

Знакопеременность собственных значений   означает, что волны делятся на два вида: прямая волна и обратная волна, чего не видно в краевой задаче Штурма-Лиувилля.

         Предположим, что  и , тогда  и точка  попадает в интервал . В промежутке  задача Коши

                                              

имеет полную ортогональную систему собственных векторов, а в промежутке  задача Коши

                                       

имеет полную ортогональную систему собственных векторов. Для сравнения вычислим значения собственных функций этих краевых задач в точке   . Собственная функция краевой задачи     имеет вид

                                      ,

поэтому                

                           

Собственные функции краевой задачи   имеет вид

                           

поэтому при  имеем

                           

Следовательно, величина разрыва в точке  составляет величину

                  

Вычислим значения производных собственных функций в точке разрыва .

                  

                                   

            Если  , то как будто разрыв исчезает, но, в самом деле, это не так. В этом случае , , ,   , и имеют места формулы:

             

            

                                                                        

.

Следовательно, , а   является частью собственных функций задачи Штурма-Лиувилля:

                              

поэтому является не полной в пространстве  , хотя, является полной в каждом из подпространств  и . В этом случае невозможно обнаружить разрыва струны визуальными средствами, его можно обнаружить только по качеству звука. Как видно из вышеприведенных вычислений в этой ситуации исчезает половина всех частот присутствовавших до разрыва струны.

         Как видно из вышеприведенных вычислений после разрыва струны появляется новая серия частот. Измерив величину этих частот, а также их разницу

                             

Можно найти точку разрыва, которая находится в точке .

 

Литература

1.    Горелик Г.С. Колебания и волны.- М.: Физматгиз, 1959, 572с.

2.    Деркач М.Ф., Гулицкий Р.Я., Гура Б.М., Чабан М.Е. Динамические спектры речевых сигналов.- Минск, 1984, 353с.

3.    Заездный А.М. Гармонический синтез в радиотехнике и электросвязи.- М.-Л.: Госэнергоиздат, 1961, 536с.

4.    Харкевич А.А. Спектры и анализ.- М.: ГИТТЛ, 1957, 236с.

5.    Хургин Я.Н., Яковлев В.П. Финитные функции в физике и технике.- М.: Наука, 1971, 408с.

6.    Френке Л. Теория сигналов.- М.: Сов. Радио, 1974, 343с.

7.    Гудмен Дж. Введение в Фурье оптику.- М.: Мир, 1970, 364с.

8.    Тейлор Ч.А. Физика музыкальных звуков.- М.: Легк. Индустрия, 1976, 184с.

9.    Кальменов Т.Ш., Шалданбаев А.Ш., Ахметова С.Т.  . К спектральной теории уравнений с отклоняющимися аргументами.// Математический журнал, Алматы- 2004, т.4, №3, 41-48с.