Алмухамбетов С.С., Нурбосынова Г.С.

Жетысуский государственный университет им. И.Жансугурова Республика Казахстан

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА

В конвейерных лентах начальные напряжения создаются искусственно с целью обеспечения их работоспособности, и они обладают со всеми свойствами среды с начальными напряжениями. Следует отметить, что начальные напряжения, вызванные конструктивной необходимости машин, существенно влияют на прочностные свойства их узлов. Искусственные начальные напряжение, находясь в статическом нагруженном состоянии в процессе работы машин, переходят в динамическое состояние, что способствует появлению в ленте сложных волновых явлений. В связи с этим исследование характера взаимовлияния статических полей начальных напряжений и возмущенного состояния конвейерной ленты во время ее эксплуатации представляет большой практический интерес. Решение этой проблемы требует привлечения теории сред с начальными напряжениями.

Пусть напряженное состояние конвейерной ленты в статическом состоянии определяется тензором начальных напряжений σ⁰_іј в возмущенном состоянии (волновые процессы колебания) появляется дополнительный тензор напряжений S_ij .

Согласно [1] предполагаем справедливость закона суперпозиций. Тогда действие внешних сил определится тензором напряжений, компоненты которого есть

σ_іј =σ⁰_іј + S_ij (1).

Тогда, соответственно, величины σ_xx , σ_xy ,σ_yy будут определены зависимостями вида:

σ_xx= σ_xx+ S_хх

σ_xy= σ_xy+ S_yy (2)

σ_yy= σ_yy+ S_хy

анологично

σ₁₁= σ⁰_xx+ S₁₁

σ₂₂= σ⁰_yy + S₂₂ (3)

σ₁₂= σ⁰_xy + S₁₂

Между (2) и (3) существует обычная связь в виде:

σ₁₁= σ⁰_xx cos²α + σ⁰_yysin²α + σ⁰_xysin2α

σ₂₂= σ⁰_xx sin²α + σ⁰_yycos²α + σ⁰_xysin2α (4)

σ₁₂= ½(σ⁰_yy + σ⁰_xx) sin2α + σ⁰_xysin2α

Подставляя в (4) соотношения (2) и (3) и полагая, что

Сosα » cos2α »1,

Sin2α » sin2α » α (5)

т.е. справедливы при малых α(α»w), получим формулы Био /3/

S_хх= S₁₁-2σ⁰_yyw,

S_yy= S₂₂+2σ⁰_xyw, (6)

S_хy= S₁₂+(σ⁰_xx+σ⁰_yy) w.

В трехмерном случае

σ^*_іј= σ⁰_іј+ S_іј+ σ⁰_mј w_im, (7)

Где, как и ранее

J_іј=() , (8)

w_іј=() , (9)

Подставляя (7) в классичское уравнение теории упругости в деформированном состоянии /3/ и, считая удлинения и сдвиги малыми по сравнению с единицей, имеем следующую систему уравнений движения для сред с начальными напряжениями:

σ⁰_јk()+ σ⁰_ik() - e_јk(=r ^, (10)

D¦_i=( S_ij+ σ⁰_јkw_іk+ e_kkσ⁰_ij- σ⁰_ike_јk)n_{j ,} (11)

Полученные системы уравнений (10) и (11)являются основными уравнениями движения и граничными условиями сред с начальными напряжениями. Преимуществом системы (10) и (11) являются то, что в них начальные напряжения входят в дифференциальной форме, а граничные условия написаны в Эйлеровых координатах. Таким образом, система (10) с граничными условиями (11) может быть удачно использовано для анализа нелинейных колебательных процессов в лентах с начальными напряжениями.

Конвейерные ленты с предварительным натяжением являются ярким примером машин содержащие узлы с начальными напряжениями. Предварительное натяжение необходимо для передачи трением приводным барабаном тяговой силы, а также для ограничения провисания ленты между роликоопорами. Оно характеризуется силой натяжения и ходом натяжного барабана. Колебания гибкой ленты с начальными напряжениями в одномерном случае описаны нелинейными уравнением. Отметим, что в одномерном случае учитывается только продольное вольна, скорость, которой определяется.

Установлено, что в лентах с начальными напряжениями продольные волны возникают до появления в них поперечных колебаний.

Колебания гибкой ленты с начальными напряжениями в одномерном случае могут быть описаны нелинейным уравнением вида:

+ ═ , (12)

где а₁ ═ (Е ± σ⁰_хх ) , α ═ ƒ( Е, σ⁰_хх,U), (13)

а₁- скорость распространения упругой волны.

Отметим, что в одномерном случае учитывается только продольная волна, скорость которой определяется зависимостью (13).

Скорости распространения этих волн зависят от тензора начальных напряжения σ⁰_іј. При определении прочности лент необходимо использовать динамический коэффициент модуля Юнга. В случае, когда удлинения и сдвиги малы по сравнению с единицей удается линеаризовать основные нелинейное уравнение.

Таким образом установлено, что в лентах с начальными напряжениями продольные волны возникает до появления в них поперечных колебаний значительно упрощает его исследование и получение аналитического решения.

Литература

1.Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными напряжениями – Киев: Наукова Думка,1986.-96c.