Физика/1. Теоретическая физика

К.ф-м.н. Галиахметов А.М., Шилкин В.А.

Донецкий национальный технический университет, Украина

Кручение, порождаемое идеальной жидкостью,

и модель типа Геделя

Среди проблем современной космологии неослабевающий интерес привлекает проблема возможного вращения Вселенной. Этой теме было посвящено большее число публикаций ( см. обзор [1] и исчерпывающий список ссылок, приведенных там). Следует отметить, что большинство точных решений для космологических моделей с вращением было получено в рамках общей теории относительности (ОТО). Вместе с тем, общеизвестно, что проблемы ОТО и стандартного космологического сценария стимулировали разработку других общерелятивистских теорий гравитации. В актуальном варианте пуанкаре калибровочной теории гравитации – теории Эйнштейна-Картана (ТЭК), в которой пространство обладает не только кривизной, но и кручением, удалось достичь некоторого прогресса в устранении трудностей ОТО (см., например, [2-5]).

В работе в рамках ТЭК исследуются однородные космологические модели с вращением, заполненные двумя идеальными жидкостями, одна из которых является источником кручения.

Лагранжиан модели L выбираем [6] в виде суммы лагранжианов: гравитационного – , идеальных жидкостей – и :

(1)

(2)

Здесь R(Г) – скалярная кривизна связности - символы Кристоффеля 2-го рода; - тензор кручения; – гравитационная постоянная Эйнштейна; ρ – плотность массы жидкости; П(ρ,е) – её внутренняя энергия; k, k₁, k₂, k₃– лагранжевы множители; Х – лагранжевы координаты частиц материи, e – удельная энтропия; – 4-скорость; – ковариантный оператор в пространстве-времени Римана-Картана. Лагранжиан L_fl(2) для идеальной жидкости не выписан, так как для него, в производной члена, регулирующего сохранение числа частиц, нет вектора кручения.

Метрический тензор g_ik имеет сигнатуру (– , – , – , + ), а тензоры Римана и Риччи определяются как. Из (2) следует, что кручение может взаимодействовать с идеальной жидкостью только через свой след (вектор кручения). Следовательно, скаляр кривизны R(Г) представляется в виде:

(3)

где R – скаляр кривизны риманова пространства; точка с запятой означает ковариантную производную в пространстве Римана.

Варьируя действие с лагранжианом по получим совместную систему уравнений для гравитационных полей и материи:

(4)

где

. (5)

Здесь – плотность энергии и давление жидкости;

Сворачивая уравнение (j) системы (4) с и учитывая соотношения (c), (e), (f) и (g), получим:

(6)

Из уравнения (c) и (d) системы (4) следует:

(7)

Исключая кручение с помощью уравнения (в), получаем замкнутую подсистему из уравнений (а) (системы(4)) и уравнения (7), которая описывает в рамках ОТО гравитационное взаимодействие двух идеальных жидкостей.

Для описания вращения Вселенной в работе [7] была предложена метрика

. (8)

Здесь – масштабные факторы; постоянные; для k < 0 замкнутые времениподобные кривые проходят через каждую точку пространства времени, а для k > 0 точные кривые отсутствуют, и причинность восстанавливается. Параметр λ определяет интенсивность вращения, так как угловая скорость ω вращения системы отсчета, сопутствующей материи, для метрики (8) определяется формулой [7]

(9)

Среди космологических моделей с вращением особое место занимает модель типа Геделя [8]. Эта стационарная модель получена для идеальной жидкости без давления и допускает существование замкнутых времениподобных кривых. Следует отметить, что в оригинальной работе Геделя [8] учитывалась космологическая постоянная Λ. В работе [9] было показано, что в стационарных пространствах для идеальной жидкости, которая является источником кручения, допустимо лишь вакуумное уравнение состояния

(10)

Следовательно, при наличии такой идеальной жидкости нет необходимости в дополнительном учете космологического члена Λ в лагранжиане модели, так как его аналог уже присутствует в выражении для .

Легко видеть, что для метрика (8) переходит в метрику Геделя, причем, .

С учетом (10) из (7) получим

, (11)

где .

Для второй идеальной жидкости, как у Геделя, полагаем . Используя выражения для ненулевых компонент тензора Эйнштейна для метрики (8), выписанных в работе [10], нетрудно показать, что система независимых уравнений Эйштейна имеет вид

(12)

(13)

Отсюда следует, что

. (14)

Ввиду того, что С₁ > 0, имеем .

Следовательно, жидкость с вакуумным уравнением состояния, которая является источником кручения, в присутствии пылевой материи не может индуцировать метрику Геделя.

Литература:

1. Obukhov Yu. N., in : Colloquim on Cosmic Rotation (Berlin, Feb. 1998), Fds. M. Scherfner, T. Chrobok, and M. Shefaat (Wissenschaft und Technik Verlag : Berlin, 2000), p. 23; astro ph/0008106.

2. Иваненко Д.Д., Пронин П.И., Сарданашвили Г.А. Калибровочная теория гравитации. – М.: Изд-во МГУ, 1985.

3. Пономарев В.Н., Барвинский А.О., Обухов Ю.Н. Геометродинамические методы и калибровочный подход к теории гравитации. – М.: Энергоатомиздат, 1985.

4. Кречет В.Г. Проблемы гравитационного взаимодействия физических полей в пространствах аффинной связности: Автореф. дис., … д-ра физ. мат. наук – Ярославль, 1984.

5. Галиахметов А.М. // Укр. физ. журн. – 1993. – v. 38. №6. – С. 807 – 814; 1994. – v. 39. №11 12. – С. 1029 – 1032.

6. Кречет В.Г., Мельников В.Н. //Изв. вузов. Физика – 1991. – т.34. №2 – С. 75 – 79.

7. Кречет В.Г. // Изв. вузов. Физика. – 2005. – т. 48. № 3. – С. 3 6.

8. Gödel K // Rev. Mod. Phys. – 1949 . – v. 21. – P. 447 450.

9. Galiakhmetov A.M. // Gravitation and Cosmology. 2001. – v.7. № 1. P. 33 – 36.

10. Galiakhmetov A.M. // Gravitation and Cosmology. 2009. – v.15. № 3. P. 250 – 255.