Сельское хозяйство/2. Механизация сельского хозяйства

К.т.н. Яхин С. М., д.т.н. Зиганшин Б. Г., к.т.н. Валиев А. Р.,

к.т.н. Сёмушкин Н. И., Нуриев Л. М.

Казанский государственный аграрный университет, Россия

РАСЧЕТ ВАЛОВ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫХ МАШИН

ПРИ СЛОЖНОМ НАГРУЖЕНИИ

Валы сельскохозяйственных машин, как правило, подвергаются сложному нагружению, т.е. воздействию как сжимающей (растягивающей), так и крутящего момента [1]. Это связано с большим разнообразием технологических операций, выполняемых этими машинами, обуславливающими сложный характер воздействия на рабочие органы этих машин.

Существующие методики расчета таких валов не в полной мере отражают картину деформации в их сечениях [2].

Предлагаемая методика носит уточняющий характер, позволяет установить связь между геометрическими параметрами валов и величиной деформации критической силы [3].

Рассмотрим вначале естественно завитый по типу спирального сверла сжатый стержень или вал с неравными изгибными жесткостями.

У таких стержней-валов моменты инерции меняются по следующему закону (рисунок 1):

, (1)

где – угол завивки или угол закручивания текущего сечения к исходному сечению;

n – число завивок на полной длине вала;

– фаза сдвига находится из уравнения.

(2)

При (3)

а изменение моментов инерции сечения запишется уравнением

. (4)

Рисунок 1 – Естественно завитый брус или вал

Например, момент инерции по рисунку 1 относительно нейтральной оси сечения определится так:

(5)

В неподвижной системе координат относительно осей х и у моменты инерции сечения по длине бруса будут меняться по следующему закону:

(6)

Одной из важнейших особенностей в решении пространственных задач будет вывод дифференциального уравнения изгиба в плоскости полных прогибов. В плоскости полных угловых поворотов его можно записать так:

(7)

где – момент от сосредоточенных сил и пар.

Во взаимно перпендикулярной плоскости, если она окажется плоскостью меньшего сопротивления изгибу, уравнение примет вид

(8)

В неподвижной системе координат уравнения (7) и (8) примут вид

(9)

Полная стрела прогиба определится по суммированию прогибов в плоскостях yz и xz по зависимости

, (10)

где и – линейные перемещения сечения в плоскостях и ,

В более упрощенном виде решение дано в литературе через разложение функций в ряд Тейлора:

(11)

(12)

где вводятся специальные функции, учитывающие условия закрепления концевых сечений стержней, как и при плоских формах изгиба. Эту методику можно распространить на решение уравнений (9).

Изложенная теория распространяется также на расчет скрученных и сжато-скрученных стержней. Дифференциальные уравнения деформированной оси принимают вид:

(13)

где и – учитывают условия закрепления концевых сечений.

Предпоследние слагаемые уравнений получаются в результате разложения вектора скручивающего момента на две составляющие, одна из которых идет по касательной к оси и вызывает скручивающие напряжения в стержне, а вторая, перпендикулярная ей, вызывает изгиб стержня и входит в дифференциальное уравнение (13). При равных изгибных жесткостях уравнения (13) упрощаются и преобразуются в уравнения:

. (14)

Это так и должно быть: сопротивление изгибу без учета , становится одинаковым в обеих плоскостях.

Рассмотрим естественно завитый на угол стержень (рисунок 2). На концевые сечения в плоскостях разной жесткости наложены шарнирные опоры.

Рисунок 2 – Естественно завитый брус (вал) на угол

Моменты инерции относительно нейтральной оси по длине стержня меняется по следующему закону

(15)

изменение угла примем в виде

. (16)

С учетом этого момент инерции относительно нейтральной оси принимает вид

(17)

Применим в расчетах метод Ритца-Тимошенко

(18)

Форму деформированной оси аппроксимируем в виде синусоиды

(19)

Она удовлетворяет шарнирным опорам концевых сечений в плоскостях меньшей и большей жесткостей. Подставим теперь значения прогиба, заданного уравнением (19) в формулу (18). Получим

, (20)

или

(21)

Здесь

(22)

Окончательно

(23)

Задаваясь различными углами закручивания в зависимости от числа закруток, можно получить соответствующие значения критических сил стержня.

Если нижний и верхний концы стержня сделать шарнирно опертыми в плоскости минимальной жесткости, то плоскостью наименьшего сопротивления изгибу на концах будет плоскость с минимальной изгибной жесткостью.

Угол будет меняться от 0 до , а от 0 до . В этом случае и меняется от 0 до , но по несколько иному закону. Плоскости полного изгиба и полных угловых поворотов отличаются на небольшой угол , которым можно пренебречь.

Так как момент инерции – относительно нейтральной оси должен быть одинаковым и равным , в начале и в конце, так как угловые повороты будут в плоскости шарнирных опор, тогда необходимо принять

(24)

С учетом этого

(25)

Примем форму изогнутой оси в виде синусоиды

. (26)

Эта функция отвечает кинематическим и физическим граничным условиям.

Для использования метода Ритца-Тимошенко вычислим предварительно:

(27)

Окончательно

(29)

Критическая сила по уравнению (18) определяется равенством

(30)

При равных изгибных жесткостях, когда получаем снова формулу Л. Эйлера.

Литература

1. Мартьянов А. П., Мартьянов С. А., Яхин С. М. Теория и расчет конструкторской надежности сельскохозяйственной техники. – Казань: Казан. гос. ун-т, 2010. – 210 с.

2. Мартьянов, А.П. К оценке надежности конструкций с пружинными валами / А.П. Мартьянов, С.М. Яхин, С.А. Мартьянов, Д.В. Напалков // Вестник Казанского государственного аграрного университета. – 2009. – № 1 (11). – С. 158-162.

3. Мартьянов, А.П. К оценке жесткости упругих элементов при простой деформации растяжения или сжатия / А.П. Мартьянов, С.М. Яхин,
Д.В. Напалков, А.А. Мартьянов // Вестник Казанского государственного аграрного университета. – 2010. – № 2 (16). – С.106-108.