МАКАРИЧЕВ А. В.

Харьковский национальный автомобильно-дорожный университет (ХАДИ)

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ПЕРИОДОВ РЕГЕНЕРАЦИИ КОМПЛЕКСОВ СЛОЖНЫХ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ СИСТЕМ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ДИСЦИПЛИНАХ ОБСЛУЖИВАНИЯ.

Рассмотрим комплекс , в котором работают однотипных сложных восстанавливаемых систем, состоящих из элементов. Каждый элемент с течением времени может отказать. В момент его отказа в одной из сложных систем возникает требование на обслуживание, которое немедленно поступает в ремонтный орган (РО), представляющий собой пару

,

где - структура, - дисциплина обслуживания. Ремонтный орган осуществляет восстановление элементов (ремонт или замену на новый элемент, идентичный исходному элементу). Восстановленный элемент занимает свое место в сложной системе, в которой произошел отказ, а требование на обслуживание немедленно покидает РО.

Процесс обслуживания неисправных элементов комплекса в момент времени и -й сложной системы соответственно опишем следующими формулами:

,

,

где - длина требования - время его обслуживания со скоростью, равной единице, - выработанная длина требования, а - остаточная длина требования на обслуживание -го элемента -й сложной системы комплекса, ; , если в момент времени -й элемент -й сложной системы исправен; , если этот элемент неисправен.

Работоспособность комплекса в момент времени определяется его состоянием

из двоичных векторов, каждый из которых, показывая состояние, определяет работоспособность соответствующей сложной системы комплекса

, .

Здесь , если в момент времени -й элемент -й сложной системы комплекса находится в исправном состоянии; , если в момент времени он находится в неисправном состоянии, .

Предположим, что поток отказов элементов, возникающий в каждой сложной системе, является марковским, то есть удовлетворяет двум условиям.

1. Если в произвольный момент времени -я сложная система находится в состоянии , то вероятность отказа на промежутке времени исправного -го элемента -й сложной системы комплекса при составляет .

2. В каком бы из состояний ни находилась -я сложная система комплекса в произвольный момент времени , вероятность отказа двух и более элементов этой системы на промежутке времени равна при .

Если состояния двух различных -й и -й сложных систем совпадают, то есть , то интенсивности отказов соответствующих элементов в этих системах одинаковы: для любого для всех . Пусть

,

где , т.е. - суммарная интенсивность (интенсивность отказа хотя бы одного из исправных элементов -й сложной системы комплекса, находящейся в состоянии ), . Длины требований (различных элементов или различных отказов одного и того же элемента) есть независимые положительные случайные величины. Обозначим - функцию распределения длины требования по обслуживанию -го элемента -й сложной системы комплекса, . Ее -й момент обозначим . Пусть - функция распределения длины первого возникшего в -й сложной системе требования на периоде регенерации, - ее -й момент, - начальная нагрузка на РО требований на обслуживание элементов сложных систем комплекса . Обозначим функцию распределения случайной величины, которая мажорирует по вероятности длины всех требований из -й сложной системы , его -й момент и , .

Пусть - класс консервативных дисциплин обслуживания и правил возвращения. Они зависят от порядка поступления, выработанных и остаточных длин требований, состояния комплекса в данный момент времени, и сумма их скоростей обслуживания в период занятости РО (когда хотя бы один элемент в одной из сложных систем комплекса неисправен) удовлетворяет условию .

Пусть требования на обслуживание элементов комплекса , находящиеся в РО, пронумерованы в порядке поступления, - их число; - множество пар выработанных и остаточных длин дообслуживания последних при дисциплине обслуживания . - регенерирующий случайный процесс с периодом регенерации .

Пусть - множество пар выработанных и остаточных длин дообслуживания требований пуассоновского потока с параметром комплекса , находящихся в РО при дисциплине обслуживания с функцией распределения ; - регенерирующий случайный процесс с периодом регенерации (в работе доказано, что период занятости РО не зависит от вида консервативной дисциплины в классе консервативных дисциплин).

Пусть .

ТЕОРЕМА.

Если и , то при

равномерно в классе консервативных дисциплин

.

Доказательство.

Пусть - вероятность того, что на периоде занятости будет обслужено ровно элементов в комплексе . Пусть - случайное событие, состоящее в том, что все требования на периоде занятости возникли из различных сложных систем. Тогда из леммы 4 в работе следует, что

(15)

для любых любой дисциплины . По формуле полной вероятности

Отсюда из леммы 1 и (15) следует, что

(16).

При имеет место неравенство

.

Отсюда и (16) следует

(17).

Из (с. 238)

Отсюда и (17), а также из определения следует, что

Отсюда следует, что при вероятность равномерно в классе консервативных дисциплин стремится к нулю. Так как

,

предел разности равен разности пределов, то при равномерно в классе дисциплин обслуживания

.

Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА.

1. Козлов В.В., Соловьев А.Д. Оптимальное обслуживание восстанавливаемых систем. I. //Изв. АН СССР, Техн. кибернетика. 1978, № 3, с. 30-38.

2. Макаричев А.В. Асимптотические оценки периода регенерации комплексов сложных восстанавливаемых систем при различных дисциплинах обслуживания.- Электронное моделирование, 2003, т. 25, № 2, с 83-97.

3. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. М.: Машиностроение,

1979.