Д.ф.-м.н. проф. Миклюков В.М.

Заслуженный деятель науки Российской Федерации

Анализ в анизотропных пространствах. Проблемы и перспективы

Если A и B суть реально существующие объекты, то под реальным расстоянием r(A,B) от A до B может пониматься время или число килокалорий, которые необходимо затратить чтобы дойти от A до B, количество бензина, которое необходимо затратить чтобы доехать на той или иной машине от A до B, стоимости этого бензина и т.п. Ясно, что в общем случае r(A,B) не равно r(B,A). Расстояния r(A,B) с подобными свойствами называются анизотропными. В реальном мире мы, как правило, имеем дело не с идеальными, но с анизотропными расстояниями и знание этих расстояний в практике обыденной жизни могло бы существенно изменить нашу жизнь, сделав ее более экономически мотивированной.

В частности, это могло бы существенно повлиять на энергетические траты социума так, что наши предложения можно рассматривать как проект глобальной экономии энергии. В целом же, наличие высокоскоростных супер-ЭВМ и возможность мгновенно получать результаты вычислений в любой географической точке влекут определяющую роль математики в формирующейся цивилизации.

Вопросы экономии энергии становятся особенно важными в связи с непрекращающимися авариями на атомных станциях. Авария на атомной станции, случившаяся в территориально небольшой стране (даже один раз за 300 лет) может поставить точку в истории этой страны. Таким образом, прекращение функционирования атомных станций в территориально небольших странах является лишь вопросом времени. А что взамен? Думается, что прежде всего это – существенное изменение политики в области энергетических трат. В частности, это влечет и самоограничения.

Один из возможных подходов к реализации данного проекта состоит в использовании уже существующих систем GPS, ГЛOНАСС, Galileo и в организации среди разработчиков этих систем подструктур, занимающихся указанными вопросами.

В качестве альтернативного подхода к проблеме можно предложить нижеследующую последовательность действий:

1) приобретение супер-ЭВМ;

2) создание на ее основе систематически обновляющейся базы данных о населённых пунктах региона и о дорогах, их связывающих (с учётом анизотропности связей);

3) написание алгоритма поиска оптимального "расстояния" от пункта А до пункта В;

4) организации интернет - системы запросов о реальных расстояниях и высокоскоростных ответов на них, как это сделано, например, в системе http://maps.google.com для изотропного случая. К примеру, появляется возможность наряду со стабильным расписанием движения общественного транспорта иметь другое, стоимость проезда согласно которому переменна и зависит от количества желающих им воспользоваться на данный момент времени.

Нашей главной целью является создание математической теории, обеспечивающей работу указанного выше алгоритма. В частности, мы предполагаем построение за ближайшие годы основ математического анализа в анизотропных пространствах. Простейшие примеры таких пространств доставляют пространство Минковского и пространство Финслера (см, например, [1] - [4]). В настоящее время мы ограничиваемся формированием математического аппарата, используемого (в изотропном случае) в вопросах конструирования сеток на поверхностях и их триангуляции, как это делается, например, в [5] - [8]. Для более развернутого подхода необходимы систематические контакты с разработчиками конкретных навигационных методов.

Вместе с тем приступать к реализации проекта можно прямо сейчас (начиная с простейших систем - метро, железная дорога и т.п.). Подготовлена примерная программа исследований, планируемых на ближайшие годы. Сформулирован ряд задач, продвижения в решении которых весьма способствовали бы, на наш взгляд, дальнейшему расширению возможностей применения разрабатываемой техники в приложениях.

Имеются (и весьма далеко продвинуты !) исследования в области информационной геодезии и глобальных навигационных спутниковых систем, выполненные с использованием классического анализа (см. [9], [10] и ссылки). Это будет непременно востребовано при разработке общих подходов.

Весьма перспективными для применений Анизотропного Математического Анализа представляются физические разработки в области метаматериалов (см. [11] – [14]

Изучение геометрической картины распространения того или иного заболевания, базирующееся на использовании анизотропного и многофакторного времени , открывает подход, полезный при выяснении природы заболевания. (Простой, понятный молодому исследователю пример использования многофакторного времени может доставить математическая модель студента на лекции по Математическому Анализу, участвующего сразу в трех трех процессах, ведущихся с разной интенсивностью и имеющих разные целевые установки: a) студент слушает лекцию, b) студент конспектирует лекцию, c) студент гладит под столом колени соседки.) В общем же данный подход может быть полезен и во многих других вопросах, связанных с факторным анализом социально - экономического поведения индивидуума, вопросах зффективности коммерческой рекламы и политической пропаганды, результативности антикоррупционных мер и др. Следует заметить, однако, это требует сбора и обработки значительного объема информации, что становится возможным лишь с наступлением эры суперкомпьютеров и интернета. Вместе с тем уже существующие методы хранения больших объемов информации позволяют переходить, например, от лечения по алгоритмам к персональной медицине.

Пользуясь случаем, заметим также, что если жизнь объекта понимать как совокупность его изменений во времени. а под временем понимать многофакторное время, то прекращение изменений по одному или нескольким факторам вовсе не означает прекращение жизни.

Уравнения с частными производными могут описывать в областях евклидова пространтва неизотропные процессы в случае, если, к примеру, их коэффициенты зависят от производных. (Мы приводим примеры использования таких уравнений в вопросах многофакторного времени.) Таким образом, методы исследования неизотропных процессов далеко не исчерпываются специальными приемами, разрабатываемыми в этих целях, но требуют привлечения всего спектра существующих математических теорий. Это тем более важно, поскольку даже переформулирование основных физических постулатов на вновь создаваемом математическом языке могло бы существенно удлинить сроки применения методов анизотропного анализа на практике.

Ряд близких вопросов рассматривается в [15]. Примерную программу исследований, планируемых на ближайшие годы можно найти в [16]. Символом *) отмечены в [16] те из вопросов, которые в настоящее время в достаточной степени не изучены. В конце каждой из глав формулируются задачи, продвижения в решении которых весьма способствовали бы, на наш взгляд, дальнейшему расширению возможностей применения разрабатываемой техники в приложениях.

Построение Анизотропного Математического Анализа в полном объеме требует привлечения к исследованиям достаточно большого числа математиков и мы приглашаем к сотрудничеству в разработках всех, кому это кажется небезынтересным. Подготовлено пособие по математическому анализу для молодых инженеров и программистов [17], где наряду с традиционным кругом вопросов математического анализа и дифференциальных уравнений мы включаем ряд новых и новейших понятий, разрабатываемых в самое последнее время (понятие почти-решения уравнения с частными производными и его зоны стагнации, элементы дифференциального исчисления в анизотропных пространствах и др.).

Пособие посвящено, главным образом, "непрерывной математике". Однако, современное состояние математики все более и более тесно связано с компьюторными вычислениями. В этой связи мы приводим краткие описания дискретных аналогов важнейших из рассматриваемых понятий (предела послеовательности, предела функции, производной) и ключевых утверждений о них. Тем самым, на простых примервх мы указываем приемы приспособления классического анализа к нуждам современной теории вычисленийий, что демонстрирует возможности прямого подхода в применениях математического анализа к практическим вычислениям - подхода, обходящего трудные задачи о продолжении функций. Пособие снабжено значительным количеством иллюстрирующих примеров и упражнений, способствующих лучшему усвоению материала.

Литература;

1. В.М.Миклюков, А.А.Клячин, В.А.Клячин, Максимальные поверхности в пространстве-времени Минковского, 2011, 532~стр., www.uchimsya.info.

2. В.М.~Миклюков, Конформное отображение нерегулярной поверхности и его применения. Волгоград: изд-во ВолГУ. 2005. -- 273~стр., ww.uchimsya.info.; Vladimir M.~Miklyukov, Confomal Maps of Nonsmooth Surfaces and their Applications, Exlibris corp., Philadelphia, 2008.

3. H.Rund, The Differential Geometry of Finsler Spaces, Springer-Verlag, Berlin, 1959; Х.Рунд, Дифференциальная геометрия финслеровых пространств, М.: Наука, 1981, 504~стр.

4. Г.С.Асанов, Финслероидная геометрия, М.: физический факультет МГУ, 2004, 160~стр.

5. С.К.Годунов, Г.П.Прокопов, О расчетах конформных отображений и построении разностных сеток, Журн. вычисл. матем. и матем. физ., т.7, n.5, 1967, 1031 -- 1059.

6. П.П.Белинский, С.К.Годунов, Ю.Б.Иванов, И.К.Яненко, Применение одного класса квазиконформнх отображений для построения разностных сеток в областях с криволинейными границами, Ж. вычисл. матем. и матем. физ, т.~15, n.~6, 1975, 1499-1511.

7. С.К.Годунов, Е.И.Роменский, Г.А.Чумаков, Построение разностных сеток в сложных областях с помощью квазиконформных отображений, Вычислительные проблемы в задачах математической физики, Тр. АН СССР. Сиб. отделение. Ин-т математики, т.18, Новосибирск: Наука, 1990, 75-84.

8. В.А.Гаранжа, Дискретные кривизны, квазиизометрические отображения и квазиоптимальные расчетные сетки, Автореф. докторск. дисс., Новосибирск, 2011, 35стр.

9. B.Hofmann-Wellenhof, H.~Moritz, Physical Geodesy, Springer-Verlag, Wien - New York, 2nd edit., 2006.

10. B.Hofmann-Wellenhof, H.Lichtenegger, E.Wasle, GPS, GLONASS, Galileo, and more, Springer-Verlag, Berlien - New York, 2008.

11. D.R.Smith, W.J.Padilla, D.C.Vier, S.C.Nemat-Nasser, S.Schultz, Composite Medium with Simultaneously Negative Permeability and Permittivity, Physical proekt. texReview Letters, 84, 2000, 41-84.\

12. I.Smolyaninov, E.Hwang, E.Narimanov, Hyperbolic metamaterial interfaces: Hawking radiation from Rindler horizons and the 'end of time', rXiv:1107.4053v1.

13. В.Г.Веселаго, Электродинамика материалов с отрицательными коэффициетами преломления, УМН, 173, n.~7, 2003, 790-794.

14. N.M.Litchinitser, A.I.Maimistov, I.R.Gabitov, R.Z.Sagdeev, and V.M.Shalaev, Metamaterials: electromagnetic enhancement at zero-index transition, Optic etters,33, 2008, 2350-2352.

15. В.М.Миклюков, Функции весовых классов Соболева, анизотропные метрики и вырождающиеся квазиконформные отображения, Волгоград: изд- во ВолГУ, 2010, 305~стр., 2-е изд. см. в www.uchimsya.co.

16. В.М.Миклюков, Анализ в анизотропных пространствах. Примерная

программа исследований, 427~стр., www. uchimsya.co.

17. В.М.Миклюков, Самоучитель по математическому анализу для инженеров

и программистов, 656~стр., www. uchimsya.co.