Шилинец В. А., Андреева Г.А.

Белорусский государственный педагогический университет

ИССЛЕДОВАНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ИНВАРИАНТНЫХ ВЕКТОР-АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Функционально-инвариантные решения некоторых уравнений математической физики исследовались авторами [1–9].

Как известно [1–4], функционально-инвариантным решением уравнения

называется такое решение , если произвольная дважды дифференцируемая функция также является решением этого уравнения.

Цель настоящей статьи – решение краевой задачи для одного класса функционально-инвариантных вектор-аналитических функций.

Определение 1. Будем называть вектор-функцию ( – комплекснозначные дважды непрерывно дифференцируемые функции от координат в некоторой области ) вектор-аналитической [8–10], если

. (1)

Если вектор-аналитической является вектор-функция ,то вектор-аналитической будем называть и гиперкомплексную функцию , где – база какой-либо линейной ассоциативно-коммутативной алгебры с единицей над полем комплексных чисел.

Система (1) является некоторым обобщением известной системы Коши-Римана на трехмерное пространство и частным стационарным случаем системы Максвелла для электромагнитного поля в пустоте

,

если положить в этой системе , где и т. д.

Определение 2. Гиперкомплексная функция

называется моногенной в смысле В.С.Федорова (F-моногенной) [11] по другой гиперкомплексной функции в некоторой области , если найдется такая функция , что для всех точек области имеем

, (2)

где .

Определение 3 Вектор-аналитическая функция называется функционально-инвариантной, если всякая функция , моногенная в смысле В.С. Федорова по , будучи записана в виде , также определяет вектор-аналитическую функцию , т.е. .

В настоящей работе мы ограничимся случаем такой алгебры, в которой , причем .

В работе [6] доказано, что функция

() (3)

будет функционально-инвариантной вектор-аналитической функцией в области , если

(4)

где – произвольная аналитическая функция комплексной переменной ; , , , , , , .

При этом каждая функция , F-моногенная по , также является функционально-инвариантной вектор-аналитической функцией.

Рассмотрим следующую краевую задачу.

Задача. Пусть – некоторая замкнутая двумерная поверхность, гомеоморфная сфере конечного диаметра и достаточно гладкая для возможности использовать формулу Остроградского ( – внутренность поверхности ).

Требуется найти в любой точке значения функций , определяемых равенствами (4), если известны значения этих функций на поверхности .

Для решения сформулированной задачи используем интегральное представление В.С. Федорова [12]. Если

1) функция – моногенная в смысле В.С. Федорова по в области ;

2) , (5)

то для каждой точки имеем

, (6)

где , , под знаком интеграла , точка , – направляющие косинусы внешней нормали к ,

, , .

Можно проверить, что функция

удовлетворяет условиям Федорова (5). Используя интегральное представление (6), получим следующие интегральные представления для функций і :

, (7)

. (8)

Таким образом, подставляя полученные из формул (7) и (8) функции в равенства (4), найдем решение сформулированной краевой задачи.

Литература

1. Соболев С.А. Функционально-инвариантные решения волнового уравнения // Труды физ.-мат. института АН СССР.–1934.– Вып. 5.– С. 117-128.

2. Смирнов В.И. Курс высшей математики.– М.:ГИТТЛ, 1953.– Т. 3.– Ч. 2.– С. 196-204.

3. Еругин Н.П. О функционально-инвариантных решениях // Уч. зап. ЛГУ. Сер. мат. наук.–1948.– Вып. 15.–С. 101-134.

4. Смирнов М.М. Функционально-инвариантные решения волнового уравнения // Доклады АН СССР.–1949.–Т. 67.– № 6.– С. 977-980.

5. Стельмашук Н.Т. Об одном исследовании системы Максвелла с помощью F-моногенных функций // Журнал выч. матем. и матем. физики.–1967.– Т. 7.– № 2.– С. 431-436.

6. Стельмашук Н.Т. О функционально-инвариантных решениях некоторых систем уравнений математической физики // Rev. Roum. de Math. Pur. et Appl.–1968.– T. 13.– № 9.– P. 1455-1459.

7. Пенчанский С.Б. О функционально-инвариантных решениях одной системы дифференциальных уравнений в частных производных // Дифференциальные уравнения.–1985.– Т. 21.– № 8.– С. 1449-1450.

8. Стельмашук Н.Т., Шилинец В.А. Об интегральном представлении функционально-инвариантных вектор-аналитических функций // Весці НАН Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук.–2006.– № 1.– С. 44-47.

9. Стельмашук Н.Т., Шилинец В.А. Об интегральном представлении функционально-инвариантных вектор-аналитических функций // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием. Ч. 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи.– Самара: СамГТУ, 2007.– С. 172-174.

10. Reinich G.Y. Analitic functions and math. physics // Bull. Amer. Math. Soc.–1931.– Vol. 37.– P. 689-714.

11. Федоров В.С. Основные свойства обобщенных моногенных функций // Известия вузов. Математика.–1958.– № 6.– С. 257-265.

12. Федоров В.С. Об одном обобщении интеграла типа Коши в многомерном пространстве // Известия вузов. Математика.–1957.– № 1.– С. 227-233.