Математика/5. Математическое моделирование

К.т.н. Жунусова Л.Х.

Казахский национальный педагогический университет им.Абая, Казахстан

ПРИМЕНЕНИЕ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ МЕТОДОВ НЕКОТОРЫМ НЕЛИНЕЙНЫМ МОДЕЛЯМ

Мир математических моделей явлений живого мира неисчерпаем, как и сам мир живых существ. Однако как в биологии в качестве единой теории выступает теории молекулярной биологии и эволюции, раскрывающие единство общности биологических явлений, так и в биоматематике постепенно вырисуются общие подходы, которые раскроют существо основных механизмов биологических процессов, выступая в качестве мощного союзника экспериментальной биологии.

К настоящему моменту математические методы проникли в самые разные области теоретической и прикладной экологии: анализ взаимоотношений видов в сообществе, исследование процессов миграции, территориального поведения, анализ потоков вещества и энергии в экосистемах, проблемы сложности и устойчивости сообщества, оценки влияния различных антропогенных факторов на природные системы, проблемы оптимального эксплуатирования популяции.

При моделировании экологических и других природных систем мы сталкиваемся со следующим обстоятельством: чем на большой срок необходимо предсказать значение параметров состояния окружающей среды при фиксированной точности их описания и верхних частотах сглаживания, тем большее число взаимодействующих процессов нам необходимо принять во внимание при исследовании операции.

К биологическим процессам относится принцип оптимальности, который формулируется следующим образом: биологическая структура или процесс должны быть оптимальными в том смысле, что живые организмы, пребывающие достаточно продолжительное время в определенных условиях, в результате действия естественного отбора должны приобретать признаки, оптимальные для этих условий.

Процессы, происходящие в нервной системе животного при тех или иных его действиях, можно исследовать с различных точек зрения. Можно рассматривать работу конкретных структур мозга, распределения возбужденных и заторможенных нейронов в них. Можно, однако, предположить, что все это лишь средство для реализации неких процедур, обеспечивающих в результате то или иное поведение животного.

Процессы в нервной системе могут иметь различную физическую, биохимическую или другую природу. Каждый из них реализуется некоторой физической управляющей системой.

При изучении поведении различают три типа: 1) инстинкты; 2) рефлексы; 3) элементарная рассудочная деятельность.

Здесь наиболее характерным свойством элементарной рассудочной деятельности животных является их способность улавливать простейшие законы окружающей среды и оперировать этими законами при построении алгоритма поведения в новых ситуациях.

Существенно при этом, что поведение, основанное на элементарной рассудочной деятельности, видно уже при первой встрече организма с необычайной ситуацией, создавшейся в среде его обитания.

Проблема динамики численности популяции занимает особое место в математическом моделировании биологии.

Любая экосистема состоит из популяции одного вида, выделенных в пространстве теми или иными изоляционными барьерами, которые взаимодействуют между собой, а также окружающей их средой. Самое простое описание популяции – это описание динамики ее численности или биомассы составляющих ее организмов.

Когда мы переходим на уровень экосистемы, то мы производим упрощающую операцию: описываем динамику сообщества через динамику численностей или биомассы составляющих его популяции. Несмотря на то, что эти величины дискретны, мы их считаем непрерывными и описываем их динамику непрерывными величинами, имеющимися непрерывно во времени и в пространстве. Конечно, такое описание есть абстракция, и мы рискуем потерять какие-либо реально существующие свойства системы.

Аналитические модели делают качественную информацию о поведении, о характере функционирования биологических сообществ и экологических систем. Но этих моделей сложно требовать, что они давали количественный прогноз поведения реальных экосистем.

В работе показано соотношение между физическими управляющими системами и их математическими моделями, так называемыми управляющими системами – одной управляющей системой может описываться целый класс различных физических управляющих систем [1].

При этом, важное значение для экологии и практических задач эксплуатации и управления популяции имеет изучение динамики возрастного состава популяции [1].

Количественный характер боьбы за существования проявляется в заданной среде в виде изменений численности индивидуммов, составляющих разные популяции. При одних условиях эти изменения состоят из флуктуации вокруг средних значений, при других условиях своядятся к исчезновению или прогрессирующему увеличению некоторых видов. Разумеется, существует периодические меняющиеся условия среды, зависящие от времени года, которые порождают внужденные колебания численности индивидуммов различных видов [2].

В настоящей работе исследуется динамика моделей экосистемы с помощью оптимального управления с учетом фактора запаздывания. В данном случае формируется функционал Больца специального вида с участием первых интегралов нерегулируемой части системы с запаздыванием:

(1)

Задано начальное состояние системы:, при , т.е. для системы

где мерный вектор состояния; мерный вектор управления; мерная вектор функция; фактор запаздывания; матрица. На управление наложено следующее ограничение:

. (2)

Необходимо найти такую управляемую вектор-функцию , удовлетворяющую ограничения (2) которая минимизировало бы функционал Больца.

Решение данной задачи заключается в определении значении функции управления в аналитическом виде. Для этого применяем метод, предложенный в работе [3].

Исторически область применения математических методов в экологии содержало в основном динамическую теорию популяций, которая, начав с использовании аппарата обыкновенных дифференциальных уравнений, оперирует сейчас всеми средствами современной теории динамических систем.

Литература:

1.Колесов А.Ю. и др.Релаксационные колебания в математических моделях экологии.//Труды МИРАН.-М.:Наука,1993.-С.6-72.

2.В.Вольтерра.Математическая теория борьбы за существования.М. Наука,1976.288с

3.Байгелов К.Ж.,Бияров Т.Н.,Жумагулов Б.Т. Оптимизация биологической системы при наличии ограничении на управления. Алматы: Препринт ИА РК 1993,№ 4.С.23.

4.Терсенов С.А.Введение в теорию уравнений. Вырождающихся на границе.-Новосибирск:НГУ,1973,143с.

5.Нахушев А.М. Уравнения математической биологии.М.:Высш.шк.,1985,301 с.