Мельник В.Н., Карачун В.В.
Национальный технический университет Украины «КПИ»
ДИФРАКЦИЯ ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫ НА ИДЕАЛЬНОЙ И ИМПЕДАНСНОЙ
ПОВЕРХНОСТИ
Пусть на поплавок подвеса
гироскопа, наклонно к его продольной оси, падает плоская звуковая волна
проникающего излучения (рис. 1)
(1)
Вектор
,
определяющий направление падающей волны, лежит в плоскости
.
Амплитуда принята равной единице.
Задача
дифракции формулируется следующим образом. На поплавок гироскопа падает волна .
В результате рассеяния возникает новое поле
,
которое можно представить в виде
,
(2)
где - рассеянное поверхностью
поплавка звуковое поле. Требуется определить
таким образом, чтобы полное поле
на поверхности поплавка удовлетворяло одному
из следующих граничных условий:
,
дифракция звука на абсолютно мягкой поверхности (задача Дирихле);
,
дифракция звука на абсолютно жесткой поверхности (задача Неймана);
,
дифракция звука на импедансной поверхности (смешанная краевая задача). Здесь
для гармонического колебательного движения.
Величина
импеданса поверхности
определяется отношением звукового давления к
нормальной составляющей колебательной скорости (со знаком “минус”), то есть
. (3)
Выбор знака обусловлен следующим обстоятельством. У выпуклой
поверхности нормаль направлена
наружу и положительное значение колебательной скорости
также направлено во
внешнюю область “2” (рис. 1).
С другой стороны, при положительном звуковом давлении у поверхности
, она будет стремиться прогибаться во внутреннюю область “1” и колебательная скорость будет отрицательной.
Чтобы устранить это противоречие, вводится отрицательный знак.
Для вогнутой поверхности поплавка, нормаль направлена во внутреннюю
область “1” и в формуле (3) берется знак плюс. Выразив потенциал через звуковое
давление и колебательную скорость, получим соотношение
,
где - коэффициент;
- плотность среды.
Четвертая краевая задача
называется
смешанной. Из нее, как частные случаи, ,
,
, следует, соответственно, первая, вторая и третья задачи.
Существует еще обширный класс проблем, для которых граничные условия
являются более сложными и зависят не только от первой производной потенциала,
но и от производных более высоких порядков. В общем случае такие граничные
условия можно записать в виде
,
где - дифференциальный
оператор, определяющий свойства поверхности. Если
,
,
, то получаются записанные выше граничные условия.
Реальные поверхности являются упругими, поэтому указанные выше
граничные условия должны рассматриваться, как соотношения, приближенно
характеризующие свойства поверхности поплавка.
Звуковое поле вне поплавка , зона “2”, то
есть результат наложения звукового поля падающей волны
, рассеянной цилиндром
и излучаемого упруго
колеблющейся поверхности
, т.е.
, (4)
где
;
;
;
- волновое число;
- коэффициенты;
- цилиндрические
функции; 1 – амплитуда падающей волны.
Поле внутри поплавка, то есть в зоне “1”, есть результат излучения звука его
колеблющейся поверхностью во внутреннюю область –
,
где - коэффициент;
- волновое число внутренней полости.
Окончательный вид звуковых полей в зонах “2” и “1”
можно представить после отыскания коэффициентов ,
:
; (5)
, (6)
где - механический
импеданс:
;
.