Технические науки/2. Механика

 

Бакиров Ж.Б., Бакиров М.Ж., Михайлов В.Ф.

Карагандинский государственный технический университет, Казахстан

Анализ нелинейных случайных колебаний

методом усреднения

 

Рассмотрим нелинейную систему, испытывающую мультипликативные и аддитивные случайные воздействия

                                                         

где  — малый параметр;  — нелинейная восстанавливающая сила; ,  — периодические функции времени с периодом Т(а)=;  — стационарные центрированные случайные процессы с матрицей корреляционных функций .

Для малых  движение системы близко к периодическому и решение может быть представлено в виде

, ,                             (2)

где ,  — «медленно» меняющиеся функции.

Введем новую переменную — энергию , определенную как первый интеграл порождающего уравнения ()

                                    , ,                               (3)

где  — потенциальная энергия системы, причем .

Для порождающего уравнения a, , b являются постоянными. Тогда дифференцируя (2) по времени, с учетом последнего выражения получим

                                       (4)

где мгновенная частота колебаний

.

Усредняя эту частоту можно записать

                       (5)

Подставляя (2) и (4) в (1), после некоторых преобразований получаем следующую систему уравнений в стандартной форме

,

                                    ,                               (6)

в которых

          

          ,        

где .

Поскольку функции ,  периодические, то для фиксированного а они могут быть разложены в ряд Фурье

                                                  

                                                    (7)

                                                                                                                          (8)

где  — белый шум с единичной интенсивностью;

 и   — усредненные коэффициенты сноса и диффузии, определяемые по формулам

            ,

                             ,                        (9)

  — означает, что берется значение функций в момент времени t.

Используя для соотношение (5) и подставляя (7) в соотношения(9), получим

                                  

        

                                     

                            .                      (10)

Здесь штрихи означают производные по “a”, кроме того учтено, что

,        

Стохастическому уравнению Ито (8) соответствует следующее уравнение А.Н. Колмогорова

                                  

где  – плотность распределения амплитуды.

Стационарное решение этого уравнения имеет вид

                                                                        (11)

где С– нормированная постоянная, определяемая из условия нормировки

         

Из формулы преобразования плотности вероятности с использованием (3) можно определить плотность распределения полной энергии

                                                                                    (12)

Здесь амплитуда выражается через Е из соотношения

                                                                                                (13)

В работе [Ошибка! Источник ссылки не найден.] показано, что совместная плотность распределения перемещения и его производной можно выразить через плотность распределения полной энергии:

                                                                                      (14)

где период изменения энергии  получается из выражения  с использованием (13) и (5). Теперь из (14) можно определить одномерную плотность распределения перемещения

                                               

Исходя из вышеизложенного предлагается следующий порядок расчета плотности распределения выходных параметров:

1) принимается множество значений a от нуля до заданного максимального значения на малом интервале (что обусловлено точностью);

2) выбираются значения   на равных интервалах от 0 до ;

3) для каждого значения  из (5) с использованием  выражения для определяем  и ;

4) для каждого значения , используя БПФ определяем , , , ,  для  до (значение m должно выбираться в зависимости от отсечения частоты из функции спектральной плотности воздействия);

5) численным дифференцированием определяем производные , ;

6) по формулам (10) определяем коэффициенты сноса и диффузии , ;

7) по формуле (11) численным интегрированием вычисляем ;

8) для каждого  вычисляем ,   и по формуле (12) вычисляем ;

9) из (5) заменой  на  определяем  и ;

10) для различных сочетаний и  по (3) определяем Е и по формуле (14) вычисляем ;

11) численным интегрированием (14) вычисляем .

В качестве примера рассмотрено уравнение Дуффинга с нелинейным затуханием при внешнем и параметрическом случайном воздействии со скрытой периодичностью. Эффективность метода показана сравнением результатов с результатами прямого статистического моделирования. Расчеты в обоих случаях проведены с использованием ПК MATLAB. Предложенный метод позволяет получать адекватные результаты, как при широкополосных, так и при узкополосных воздействиях.

 

Литература:

1. Dimentberg M., Gai G.Q., Lin Y.K. Application of quasiconservative averaging to a nonlinear system under non white excitation // Int. J. Nonlinear Mech. 30, 1995. p. 677-685.