Технические науки/2. Механика
Бакиров
Ж.Б., Бакиров М.Ж., Михайлов В.Ф.
Карагандинский
государственный технический университет, Казахстан
Анализ нелинейных случайных колебаний
методом усреднения
Рассмотрим нелинейную систему, испытывающую
мультипликативные и аддитивные случайные воздействия
где
— малый параметр;
— нелинейная
восстанавливающая сила;
,
— периодические
функции времени с периодом Т(а)=
;
— стационарные центрированные
случайные процессы с матрицей корреляционных функций
.
Для малых движение системы
близко к периодическому и решение может быть представлено в виде
,
, (2)
где ,
— «медленно»
меняющиеся функции.
Введем новую переменную — энергию , определенную как первый интеграл порождающего уравнения (
)
,
, (3)
где — потенциальная энергия системы, причем
.
Для
порождающего уравнения a, , b являются постоянными. Тогда дифференцируя (2) по
времени, с учетом последнего выражения получим
(4)
где мгновенная частота
колебаний
.
Усредняя эту частоту
можно записать
(5)
Подставляя
(2) и (4) в (1), после некоторых преобразований получаем следующую систему уравнений
в стандартной форме
,
,
(6)
в которых
,
где .
Поскольку
функции ,
периодические, то для
фиксированного а они могут быть
разложены в ряд Фурье
(7)
(8)
где — белый шум с единичной интенсивностью;
и
— усредненные
коэффициенты сноса и диффузии, определяемые по формулам
,
,
(9)
—
означает, что берется значение функций в момент времени t.
Используя для соотношение (5) и подставляя (7) в соотношения(9), получим
. (10)
Здесь штрихи означают
производные по “a”, кроме того учтено, что
,
Стохастическому
уравнению Ито (8) соответствует следующее уравнение А.Н. Колмогорова
где
– плотность
распределения амплитуды.
Стационарное
решение этого уравнения имеет вид
(11)
где С– нормированная постоянная, определяемая из условия нормировки
Из формулы преобразования плотности вероятности с
использованием (3) можно определить плотность распределения полной энергии
(12)
Здесь амплитуда выражается
через Е из соотношения
(13)
В
работе [Ошибка!
Источник ссылки не найден.] показано, что совместная плотность
распределения перемещения и его производной можно выразить через плотность
распределения полной энергии:
(14)
где
период изменения энергии получается из
выражения
с использованием (13)
и (5). Теперь из (14) можно определить одномерную плотность распределения
перемещения
Исходя
из вышеизложенного предлагается следующий порядок расчета плотности распределения
выходных параметров:
1)
принимается множество значений a от нуля до
заданного максимального значения на малом интервале (что обусловлено
точностью);
2)
выбираются значения на равных интервалах от 0 до
;
3)
для каждого значения из (5) с
использованием выражения для
определяем
и
;
4)
для каждого значения , используя БПФ определяем
,
,
,
,
для
до
(значение m должно выбираться в зависимости от отсечения
частоты из функции спектральной плотности воздействия);
5)
численным дифференцированием определяем производные ,
;
6)
по формулам (10) определяем коэффициенты сноса и диффузии ,
;
7)
по формуле (11) численным интегрированием вычисляем ;
8)
для каждого вычисляем
,
и по формуле (12) вычисляем
;
9)
из (5) заменой на
определяем
и
;
10)
для различных сочетаний и
по (3) определяем Е и по формуле (14) вычисляем
;
11)
численным интегрированием (14) вычисляем .
В качестве примера рассмотрено уравнение Дуффинга с
нелинейным затуханием при внешнем и параметрическом случайном воздействии со
скрытой периодичностью. Эффективность метода показана сравнением результатов с
результатами прямого статистического моделирования. Расчеты в обоих случаях
проведены с использованием ПК MATLAB.
Предложенный метод позволяет получать адекватные результаты, как при широкополосных,
так и при узкополосных воздействиях.
Литература:
1. Dimentberg M., Gai G.Q., Lin Y.K. Application of quasiconservative
averaging to a nonlinear system under non white excitation // Int. J. Nonlinear
Mech. 30, 1995. p. 677-685.