Г.С.
ПОЛЕТАЕВ
Одесская государственная академия
строительства и архитектуры, Украина
ОДНОПРОЕКТОРНЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ТИПА УРАВНЕНИЯ С
ПРАВИЛЬНО ФАКТОРИЗУЕМЫМИ ПО ПОДКОЛЬЦАМ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
0.1.В сообщении продолжены работы [1, 2]. Рассмотрены
уравнения относительно неизвестных ,
общего вида:
; (1)
, (2)
изучаемые
в абстрактном ассоциативном кольце с факторизационной
парой
[1-3]. Установлены
теоремы о разрешимости с формулами решений.
1. Обозначения, определения и общие положения
1.1.Для уточнения смысла записанных уравнений, а также результатов, следуя [1-5], через обозначим
произвольное, вообще, некоммутативное и, возможно, неассоциативное кольцо с
единицей
. Пусть
,
– коммутирующие
проекторы, т. е. аддитивные и идемпотентные отображения
. Положим:
,
. Для любого подмножества
обозначим
;
;
;
. Для любого
полагаем:
;
. Обратный в
для обратимого в
элемента
будем обозначать
символом
, снабженным, при необходимости, дополнительными. Для
произвольных подмножеств
определим множество
{
существует и принадлежит
}. Положим
. Элемент
[– элемент
, элемент
] назовем правильным [10], если
[
,
].
1.2. Дополняя [1],
введем следующие определения [1.
Ср. 3].
Определение. Пару подколец
кольца
с единицей
будем называть левой
факторизационной парой (ЛФП) этого кольца
, если она порождена действующими в
коммутирующими
проекторами
,
:
, и выполняются следующие аксиомы:
; (3)
– кольцевой гомоморфизм
и
в
;
(4)
. (5)
Аналогично вводится правая факторизационная пара (ПФП)
[1]. Укажем, что факторизации структуры в [3] здесь
соответствует ЛФП
. Всякий раз, когда пара
является одновременно
ЛФП и ПФП
, эту пару подколец будем
называть факторизационной парой (ФП) кольца
.
Определение. Всякое кольцо с единицей
, рассматриваемое вместе с его фиксированной ФП
будем называть
кольцом с факторизационной парой.
1.3. Будем говорить ([1,2. Ср. 3], что элемент допускает в
левую (правую)
факторизацию (l.ф.(r.ф.)) по паре
если существуют
элементы
,
,
такие, что
, (
). (6)
Множители ,
,
в (6) называются
плюс-, диагональным- и минус-факторами, соответственно. Левая (правая)
факторизация (6) называется: правильной левой (правой) факторизацией (п.l.ф. (п.r.ф.)), если
,
,
– правильные
элементы; – нормированной левой (правой) факторизацией (н.l.ф. (н.r.ф.)), если
; – нормированной правильной левой (правой) факторизацией
(н.п.l.ф. (н.п.r.ф.)),
если она является (п.l.ф. (п.r.ф.)) и
.
Очевидно, что любой элемент (в частности, любой
коэффициент рассматриваемых далее уравнений (1)-(2)) допускает в
п.l.ф. (п.r.ф.) по ФП
тогда и только тогда,
когда соответствующий обратный ему элемент в
допускает в
п.r.ф. (п.l.ф.) по паре ФП
. Известно [1, 3], что правильная факторизация элемента из
по ФП
может быть
нормирована, причем нормированная правильная левая (правая) факторизация
единственна.
2. Разрешимость уравнений с правильно факторизуемыми
коэффициентами
2.1. Когда задача
разрешимости абстрактных уравнений
(1)-(2) ставится в кольце с факторизационной
парой
, элементы
,
будем считать
искомыми, а остальные элементы заданными из
. При этом считаем, что
,
, а коэффициенты предполагаем обратимыми в
. Под решением в
уравнения (1)
понимается всякий элемент
, результат подстановки которого в левую часть (1) с помощью
операций из
и проекторов
,
,
,
, p 0 преобразуется в соответствующую
правую часть (1). Аналогично для (2).
2.2. Разрешимость однопроекторных одночленных второго
порядка уравнений (1)-(2) в ассоциативном кольце с факторизационной парой при
соответствующих предположениях характеризуют следующие результаты.
Теорема 1. Пусть – ассоциативное
кольцо с единицей
и ФП
; коэффициенты
, причем
,
допускают в
, соответственно, н.п.l.ф. и н.п.r.ф. по
ФП
:
,
. (7)
Тогда
при любой правой части уравнение (1) имеет в
одно и только одно
решение. Его можно определить по формуле:
. (8)
Соответствующее
однородное уравнение: , имеет в
только нулевое
решение.
Теорема 2. Пусть – ассоциативное
кольцо с единицей
и ФП
; коэффициенты
, причем
,
допускают в
, соответственно, н.п.r.ф. и н.п.l.ф. по
ФП
:
,
. (9)
Тогда
при любой правой части уравнение (2) имеет в
одно и только одно
решение. Его можно определить по формуле:
. (10)
Соответствующее однородное уравнение
имеет в только тривиальное
решение.
Доказательства теорем
подобны доказательству теоремы 1
из работы [2]. Отметим в
заключение, что в случае, когда R есть кольцо всех
вещественных числовых квадратных матриц фиксированного размера n*n, n≥2 результаты могут служить для обоснования
соответствующих положений о специальных матричных уравнениях, родственных, рассмотренным в [6].Нижние треугольные матрицы подкольца имеют в этом случае на главной диагонали только нули. Эти матричные
уравнения, в свою очередь, связаны с задачами механики и иными. Результаты применимы также к исследованию интегральных уравнений
типа Винера-Хопфа [2, 7-9] и другим.
Литература
1. Полетаев Г. С. Об
уравнениях и системах одного типа в кольцах с факторизационными парами. – Киев,
1988. – 20 с. – (Препринт / АН УССР. Институт математики: 88.31).
2. Полетаев Г. С. Об
однопроекторных второго порядка уравнениях с правильно факторизуемыми
коэффициентами в кольце с факторизационной парой // Вестник Херсонского
государственного технического университета. – 2000, – №2(8). – С. 191 – 195.
3. McNabb A., Schumitzky A. Factorization of Operators
I: Algebraic Theory and Examples // J. Funct. Anal. – 1972. – 9, №3. – Р. 262 – 295.
4. Полетаев Г. С. К
теории абстрактных аналогов некоторых уравнений типа свертки // Математическая
физика. – 1978. – Вып. 24. – С. 104 – 106.
5. Подлозный Э. Д.,
Полетаев Г. С. К уравнениям в кольцах с факторизационными парами и уравнениям
векторной алгебры // Спектральная теория дифференциально–операторных уравнений
– К.: Ин–т математики АН УССР, 1986. – С. 99 – 102.
6. Полетаев Г. С.,
Солдатов Л. И. Системы уравнений с двусторонне факторизуемыми коэффициентами,
треугольными матричными неизвестными и проекторами // Известия Белорусской
инженерной академии. – 2003. – №1(15)/3. – С. 63 – 66.
7. Крейн М. Г.
Интегральные уравнения на полупрямой с ядрами, зависящими от разности
аргументов // Успехи мат. наук. – 1958. – 13, вып. 5(83). – С. 3 –120.
8. Гахов Ф. Д.,
Черский Ю. И. Уравнения типа свертки. – М.: Наука, 1978. – 296 с.
9. Полетаев Г. С. О
некоторых интегральных уравнениях, встречающихся в задачах механики и теории их
абстрактных аналогов // VIII Воронеж.
зим. мат. шк. Тез. докл. – Воронеж, 1974. – С. 87 – 89.