Г.С. ПОЛЕТАЕВ

Одесская государственная академия строительства и архитектуры, Украина

 

ОДНОПРОЕКТОРНЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ТИПА УРАВНЕНИЯ С ПРАВИЛЬНО ФАКТОРИЗУЕМЫМИ ПО ПОДКОЛЬЦАМ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

 

 

0.1.В сообщении продолжены работы [1, 2]. Рассмотрены уравнения относительно неизвестных ,  общего вида:

                                                       ;                                                           (1)

                                                       ,                                                           (2)

изучаемые в абстрактном ассоциативном кольце  с факторизационной парой  [1-3]. Установлены теоремы о разрешимости с формулами решений.

1. Обозначения, определения и общие положения

1.1.Для уточнения смысла записанных уравнений,  а также результатов, следуя [1-5], через  обозначим произвольное, вообще, некоммутативное и, возможно, неассоциативное кольцо с единицей . Пусть ,  – коммутирующие проекторы, т. е. аддитивные и идемпотентные отображения . Положим:  , . Для любого подмножества  обозначим ; ; ; . Для любого  полагаем: ; . Обратный в  для обратимого в  элемента  будем обозначать символом , снабженным, при необходимости, дополнительными. Для произвольных подмножеств  определим множество { существует и принадлежит }. Положим . Элемент  [– элемент , элемент ] назовем правильным [10], если  [, ].

1.2. Дополняя [1],   введем следующие определения [1. Ср. 3].

Определение. Пару подколец   кольца  с единицей  будем называть левой факторизационной парой (ЛФП) этого кольца , если она порождена действующими в  коммутирующими проекторами , : , и выполняются следующие аксиомы:

                                                      ;                                                            (3)

                          – кольцевой гомоморфизм  и  в ;                          (4)

                                                      .                                                    (5)

Аналогично вводится правая факторизационная пара (ПФП) [1]. Укажем, что факторизации структуры в  [3] здесь соответствует ЛФП . Всякий раз, когда пара  является одновременно ЛФП и ПФП , эту пару  подколец будем называть факторизационной парой (ФП) кольца .

Определение. Всякое кольцо  с единицей , рассматриваемое вместе с его фиксированной ФП   будем называть кольцом с факторизационной парой.

1.3. Будем говорить ([1,2. Ср. 3], что элемент  допускает в  левую (правую) факторизацию (l.ф.(r.ф.)) по паре  если существуют элементы , ,  такие, что

                             ,                                 ().                                      (6)

Множители , ,  в (6) называются плюс-, диагональным- и минус-факторами, соответственно. Левая (правая) факторизация (6) называется: правильной левой (правой) факторизацией (п.l.ф. (п.r.ф.)), если , ,  – правильные элементы; – нормированной левой (правой) факторизацией (н.l.ф. (н.r.ф.)), если ; – нормированной правильной левой (правой) факторизацией (н.п.l.ф. (н.п.r.ф.)), если она является (п.l.ф. (п.r.ф.)) и .

Очевидно, что любой элемент  (в частности, любой коэффициент рассматриваемых далее уравнений (1)-(2)) допускает в  п.l.ф. (п.r.ф.) по ФП  тогда и только тогда, когда соответствующий обратный ему элемент в  допускает в  п.r.ф. (п.l.ф.) по паре ФП . Известно [1, 3], что правильная факторизация элемента из  по ФП  может быть нормирована, причем нормированная правильная левая (правая) факторизация единственна.

2. Разрешимость уравнений с правильно факторизуемыми коэффициентами

2.1. Когда задача разрешимости абстрактных  уравнений (1)-(2) ставится в кольце  с факторизационной парой , элементы ,  будем считать искомыми, а остальные элементы заданными из . При этом считаем, что , , а коэффициенты предполагаем обратимыми в . Под решением в  уравнения (1) понимается всякий элемент , результат подстановки которого в левую часть (1) с помощью операций из  и проекторов , , , ,    p 0 преобразуется в соответствующую правую часть (1). Аналогично для (2).

2.2. Разрешимость однопроекторных одночленных второго порядка уравнений (1)-(2) в ассоциативном кольце с факторизационной парой при соответствующих предположениях характеризуют следующие результаты.

Теорема 1. Пусть  – ассоциативное кольцо с единицей  и ФП ; коэффициенты , причем ,  допускают в , соответственно, н.п.l.ф. и н.п.r.ф. по ФП :

                               ,                                      .                              (7)

Тогда при любой правой части  уравнение (1) имеет в  одно и только одно решение. Его можно определить по формуле:

                                                       .                                  (8)

Соответствующее однородное уравнение: , имеет в  только нулевое решение.

Теорема 2. Пусть  – ассоциативное кольцо с единицей  и ФП ; коэффициенты , причем ,  допускают в , соответственно, н.п.r.ф. и н.п.l.ф. по ФП :

                                 ,                            .                                     (9)

Тогда при любой правой части  уравнение (2) имеет в  одно и только одно решение. Его можно определить по формуле:

                                                       .                                (10)

       Соответствующее однородное уравнение имеет в  только тривиальное решение.

       Доказательства  теорем  подобны  доказательству теоремы 1 из работы [2].        Отметим в заключение, что в случае, когда R есть кольцо всех вещественных числовых квадратных матриц  фиксированного размера  n*n, n≥2 результаты могут служить для обоснования соответствующих положений о специальных матричных уравнениях, родственных,             рассмотренным  в [6].Нижние треугольные матрицы подкольца имеют в этом случае на главной диагонали только нули. Эти матричные уравнения, в свою очередь, связаны с задачами механики  и иными. Результаты применимы  также к исследованию интегральных уравнений типа Винера-Хопфа [2, 7-9] и другим.

 

Литература

1. Полетаев Г. С. Об уравнениях и системах одного типа в кольцах с факторизационными парами. – Киев, 1988. – 20 с. – (Препринт / АН УССР. Институт математики: 88.31).

2. Полетаев Г. С. Об однопроекторных второго порядка уравнениях с правильно факторизуемыми коэффициентами в кольце с факторизационной парой // Вестник Херсонского государственного технического университета. – 2000, – №2(8). – С. 191 – 195.

3. McNabb A., Schumitzky A. Factorization of Operators I: Algebraic Theory and Examples // J. Funct. Anal. – 1972. – 9, №3. – Р. 262 – 295.

4. Полетаев Г. С. К теории абстрактных аналогов некоторых уравнений типа свертки // Математическая физика. – 1978. – Вып. 24. – С. 104 – 106.

5. Подлозный Э. Д., Полетаев Г. С. К уравнениям в кольцах с факторизационными парами и уравнениям векторной алгебры // Спектральная теория дифференциально–операторных уравнений – К.: Ин–т математики АН УССР, 1986. – С. 99 – 102.

6. Полетаев Г. С., Солдатов Л. И. Системы уравнений с двусторонне факторизуемыми коэффициентами, треугольными матричными неизвестными и проекторами // Известия Белорусской инженерной академии. – 2003. – №1(15)/3. – С. 63 – 66.

7. Крейн М. Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов // Успехи мат. наук. – 1958. – 13, вып. 5(83). – С. 3 –120.

8. Гахов Ф. Д., Черский Ю. И. Уравнения типа свертки. – М.: Наука, 1978. – 296 с.

9. Полетаев Г. С. О некоторых интегральных уравнениях, встречающихся в задачах механики и теории их абстрактных аналогов // VIII Воронеж. зим. мат. шк. Тез. докл. – Воронеж, 1974. – С. 87 – 89.