Рашевський М.О.

Криворізький технічний університет

Асимптотичне інтегрування лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з відхиленням аргументу

Розглянемо рівняння другого порядку вигляду

. (1)

Тут x(t, e) – невідома функція, D > 0 – стале відхилення, h – раціональне число, t Î [0, L], L < ¥. Припускаємо, що мають місце зображення збіжними рядами за степенями дійсного малого параметра e > 0: .

Питання про асимптотичне інтегрування основної початкової задачі для рівняння (1)

(2)

вивчалося у різних припущеннях про коефіцієнти a(t, e) та b(t, e). У практичних застосуваннях необхідно досліджувати диференціальні рівняння із нестабільним спектром [1] - [5], зокрема з точками повороту (ТП) [2] - [4]. Найбільш вивченими є звичайні диференціальні рівняння. Останнім часом об’єктом дослідження є інтегро – диференціальні рівняння [1]. У монографії [3] побудовано асимптотичні розв’язки рівнянь з відхиленням аргументу із стабільним спектром. Дане дослідження має за мету розвинення методів [3, 4] для інтегрування рівнянь вигляду (1).

Розв’язуючи задачу (1), (2) методом кроків [3], вимагатимемо виконання наступних умов.

1⁰. Коефіцієнти a_k(t) та b_k(t) є нескінченно диференційовними на проміжку [0, L], k ³ 0. Коефіцієнт a₀(t) = t^qa(t), q – натуральне число, яке називають кратністю ТП; a(0) ≠ 0.

2⁰. a(t, e) ≠ 0, t Î [0, L].

На першому кроці (t Î [0, D]) рівняння (1) запишеться у вигляді

. (3)

Записавши зображення коефіцієнтів рівняння за степенями e^h так, щоб a_k(t, e) та b_k(t, e) були обмеженими при e ® 0, побудуємо розв’язок рівняння (3) у вигляді

₍₄₎

де .

_{Cj1 – довільні сталі, які задамо так, щоб отримати неперервний розв’язок:} . Забезпечити неперервність при t = 0 похідної в _{загальному випадку неможливо. Невідомі uk(t, e) та lk(t, e) визначимо із системи рівнянь (індекс j не записуємо), яку дістанемо із тотожності}

(5)

де ,

прирівнявши до нуля коефіцієнти при степенях e^sh, s £ m. Маємо:

Таким чином визначені u_k(t, e) та l_{k + 1}(t, e), а отже і не скомпенсовані доданки R_m(t, e) матимуть полюс по e у точці t = 0, k ³ 0. Порядок полюсів (Or) обчислимо методом [4, 5], вимагаючи виконання наступної умови.

3⁰. a₀(t, e) ≠ 0, t Î [0, D].

Дістанемо: Or(u_k(0, e)) = (2k + 1)/4 + k/q; Or(R_m(0, e)) = (2m + 1)/4 + (m+1)/q. З урахуванням описаного визначення коефіцієнтів при підстановці x(t, e) у рівняння (3), матимемо таке рівняння:

З урахуванням (5) для z₁(t, e) з початковими умовами маємо інтегральне рівняння

Застосувавши до останнього рівняння міркування [3, стор. 179], переконуємось, що

(6)

де а функція a_m1(t,e) є рівномірно обмеженою в околі e = 0. Із умови g > 0 дістанемо таку нерівність:

. (7)

Застосувавши метод [3], можна довести таку теорему.

Теорема 1. Якщо виконуються умови 1⁰, 2⁰, (7), то задача (1), (2) має формальний розв’язок вигляду (4). Якщо, крім цього, виконано умову 3⁰, то вираз (4) із z₁(t, e), визначеним рівністю (6) є асимптотичним зображенням деякого точного розв’язку.

Вважаючи побудований розв’язок початковою функцією, будуємо розв’язок рівняння (1) на другому (t Î [D, 2D]) та подальших кроках. Зокрема, на другому кроці рівняння (1) запишеться у вигляді

Методами [3, 4] та описаними вище міркуваннями отримаємо розв’язок останнього рівняння у вигляді

.

Визначаючи невідомі R_1j, вимагатимемо виконання умови a(t, 0) ≠ a(t - D, 0).

Методом математичної індукції доводиться теорема про розв’язок рівняння (1) довільному на r – му кроці (t Î [(r – 1)D, rD]).

Теорема 2. Якщо виконуються умови теореми 1, а також умова a(t, 0) ≠ a(t - kD, 0). k £ r, t Î [0, L], L < ¥, то на r – му кроці система (1) має розв’язок вигляду

де ; функція z_r(t,e) зображується у вигляді r – кратного інтегралу.

Література:

1. Бободжанов А.А., Сафонов В.Ф. «Всплески» в интегродифференциальных уравнениях Фредгольма с быстро изменяющимися ядрами. // Матем. Заметки. – 2009. – 85, вып. 2. - С. 163 - 179.

2. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. – М.: Наука, 1981. – 400 с.

3. Фещенко С.Ф., Шкиль Н.И., Пидченко Ю.П. и др. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. - К.: Наук. думка, 1981. – 296 с.

4. Шкиль Н.И., Старун И.И., Яковец В.П. Асимптотическое интегрирование линейных систем дифференциальных уравнений с вырождениями. – К.: Выща шк., 1991. – 207 с.

5. Шкіль М.І., Рашевський М.О. Асимптотичне інтегрування лінійних систем другого порядку з нестабільним спектром.  // Доповіді НАН України, 2002. - № 3.- С. 39-43.