Рижков Л.М.

Національний технічний університет України “КПІ”

Степуренко Д.І.

Авіаційний науково-технічний комплекс ім. О.К. Антонова

 

Аналіз інструментальних похибок алгоритму TRIAD

 

Вступ

 

Алгоритм TRIAD (Three axis attitude determination) є найбільш простішим та найбільш швидшим серед детермінованих алгоритмів. І хоча він є першим розробленим алгоритмом для визначення орієнтації, він продовжує бути об’єктом досліджень [1,2]. З моменту його появи були розроблені декілька різноманітних варіантів базового алгоритму, дослідженню яких присвячена робота [3].

Особливістю алгоритму TRIAD є його чутливість до похибок вимірювачів, інформація від яких використовується в алгоритмі. Знаходження похибок визначення орієнтації за даним алгоритмом для загального випадку, коли кути орієнтації не можна вважати малими є складною задачею. Однак для випадку малих кутів можна отримати відносно прості аналітичні вирази для цих похибок.

 

Постановка задачі

 

Розглядається просторовий рух твердого тіла відносно опорної системи координат (СК) . З тілом зв’яжемо систему координат . Для визначення кутів орієнтації будемо використовувати класичний алгоритм TRIAD, згідно з яким використовується інформація про два опорні напрямки. Позначимо одиничні вектори цих напрямків в опорній СК як та , а в зв’язаній СК – як та . Будемо вважати відомими проекції цих векторів в опорній та зв’язаній системах координат. Алгоритм полягає в побудові двох трійок ортогональних одиничних векторів на основі інформації про опорні вектори в опорній та зв’язаній системах координат. Припускається, що один з векторів визначається з більшою точністю ніж інший. Будемо вважати, що більш точно визначається вектор , а вектор визначається з деякою похибкою . Положення векторів в зв’язаній СК визначається за допомогою певних вимірювачів в залежності від фізичної природи опорних напрямків. Припустимо, що похибка  визначення вектора викликана похибками вимірювача відповідного напрямку, тобто є інструментальною.

 

Аналіз похибок алгоритму TRIAD

 

За алгоритмом TRIAD трійки векторів будуються наступним чином:

,   ,  

 

(1)

,   ,  

 

(2)

  Матриця напрямних косинусів (МНК) переходу від системи координат  до системи координат має вигляд

(3)

де

, 

 

(4)

Запишемо матрицю в розгорнутому вигляді:

 

(5)

Слід зауважити, що за даним алгоритмом визначається саме матриця напрямних косинусів, а кути орієнтації визначаються виходячи з послідовності поворотів. Приймемо послідовність поворотів так, як в [4]. В цьому випадку кути поворотів визначаються таким чином:

 

(6)

З’ясуємо причину виникнення похибок алгоритму TRIAD. Позначимо площину, в якій знаходяться вектори і як  (рис.1). Похибка  може викликати наступні зміни вектора : 1) зміна довжини вектора; 2) поворот вектора в площині ; 3) поворот вектора в площині, яка перпендикулярна до площини базових векторів  та . Як видно з рис.1 поворот вектора в площині , а також зміна його довжини, не викликають зміни векторів  та . Тільки відхилення вектора від площини  викликає зміну вказаних векторів. Це в свою чергу призводить до зміни значень кутів орієнтації, які обчислюються за алгоритмом, тобто це призводить до появи похибок визначення кутів.

Відхилення вектора  від площинивикликає тільки така похибка , яка перпендикулярна цій площині. У випадку коли  має довільний напрям, на точність визначення кутів орієнтації впливає тільки та її складова, яка перпендикулярна площині векторів  і . Позначимо через  орт нормалі до площини . Проекцію вектора на напрям нормалі позначимо як , а вектор, якій відповідає цій проекції як . Найбільший вплив похибка буде мати тоді, коли вона буде збігатися з напрямком вектора . Таким чином, проекція  є мірою впливу похибок визначення вектора на точність визначення кутів орієнтації.

Знайдемо вирази для похибок визначення кутів. Припустимо, що кути  та  є малими, а кут  може приймати довільні значення. Тоді вирази для визначення кутів приймають наступний вигляд ():

 

(7)

Використовуючи вираз для матриці направляючих косинусів (5), можна записати:

,

,  .

 

(8)

В цих виразах аргументами вважаються величини та оскільки тільки вони змінюються внаслідок наявності похибки . Надаючи проекціям векторів  та  прирости, що викликані похибкою , отримаємо відповідні прирости кутів, які і будіть похибками визначення цих кутів:

, .

 

(9)

Запишемо похибки побудови опорних векторів  та . Зірочкою тут і надалі будемо позначати збурені значення кутів та векторів. Маємо:

 

(10)

де   ;

;

(11)

де  .

 

Моделювання

 

Розглянемо програмний рух твердого тіла (поворот навколо вісі ). При цьому кути орієнтації будемо змінювати таким чином: , . Для перевірки отриманих за формулами (9) результатів порівняємо їх з різницею між значеннями кутів, які отримані при наявності та при відсутності похибки . Введемо наступні величини: ,  і , де величини із зірочкою позначають кути, що обчислені при наявності похибки , а індекс «с» позначає обчислені значення похибок (на відміну від розрахованих).

Рис.2. Зміна похибок визначення кутів орієнтації при умові, що вектор  напрямлений вздовж вісі зв’язаної системи координат

 

Розглянемо випадок, коли вектор  напрямлений вздовж осі  зв’язаної системи координат: . Результати моделювання для цього випадку наведені на рис.2. Як бачимо в ті моменти часу, коли вектор не є перпендикулярним до вектора , орієнтація тіла визначається з певними похибками, величина яких збільшується при збільшенні проекції . Похибки дорівнюють нулеві тоді, коли вісі  та  збігаються (). Бачимо, що відносна похибка побудови вектора  спричиняє досить суттєві  помилки  обчислення  кутів  орієнтації. З  цього  ж рисунку можна зробити висновок, що запропоновані аналітичні залежності дають можливість досить точно оцінити похибки визначення цих кутів.

 

Висновки

 

Проведений геометричний аналіз виникнення інструментальних похибок обчислення кутів орієнтації за алгоритмом TRIAD показав, що ці похибки викликаються тією складовою похибки одного з базових векторів, яка перпендикулярна до площини базових векторів. Отримано аналітичні вирази, які дозволяють визначити похибки обчислення кутів орієнтації за вказаним алгоритмом при умові, що кути відхилення від осі  опорної системи координат є малими. Доцільним напрямом подальших досліджень є отримання аналогічних співвідношень без обмежень на величини кутів орієнтації. 

 

Список використаної літератури

 

1. Shuster M.D. The TRIAD algorithm as maximum likelihood estimation// The Journal of the Astronautical Sciences, Vol.54, No. 1, January-March 2006, pp.113-123.

2. Shuster M.D. Deterministic three-axis attitude determination// The Journal of the Astronautical Sciences, Vol.52, No. 3, July-September 2004, pp.405-419.

3. Tanygin S., Shuster M.D. The many TRIAD algorithms. Paper AAS-07-104, AAS/AIAA 17th Space Flight Mechanics Meeting, Sedona, Arizona, January 28 – February 2, 2007, 19pp.; Proceedings: Advances in the Astronautical Sciences, Vol. 127, 2007, pp.81-99.

4.  Рижков Л.М, Мелащенко О.М, Степуренко Д.І., Шилко І.С. Вплив похибок вимірювачів на точність двовекторних систем орієнтації//VІI міжнародна науково-технічна конференція “Гіротехнології, навігація, керування рухом та конструювання авіаційно-космічної техніки”, ч.2, Київ, 2009, с.302-307.