Технические науки/2. Механика

Громов В. А.

Днепропетровский национальный университет им. О. Гончара, Украина

Разрешающие соотношения метода наилучшего базиса для уравнений теории пологих оболочек

Численному и аналитическому исследованию нелинейных краевых задач теории пологих оболочек посвящено значительное число исследований, что объясняется математической и вычислительной сложностью данного класса задач, с одной стороны, и широким применением тонкостенных конструкций в авиационной и космической технике, строительстве, биомеханике.

В качестве исходных разрешающих соотношений используются соотношения нелинейной теории пологих оболочек, которые в общем виде могут быть записаны в виде

. (1)

Соотношения (1) дополняются необходимыми граничными условиями на торцах оболочки.

Ставиться задача отыскания наилучшего приближения к решению нелинейной краевой задачи (1):

(2.1)

, (2.2)

причём определению подлежат не только коэффициенты и , но и базисные функции , , , , .

Неизвестные базисные функции отыскиваются последовательно: сначала находится решение задачи для , далее полученное решение уточняется для , при этом используются величины , , , , , , полученные на предыдущем этапе; при отыскании решения для произвольного величины , , , , , для считаются найденными на предыдущих этапах.

Вариируя соотношения (2.1), (2.2) по , , , или, соответственно, дифференцируя по и , после соответствующих преобразований получаем соотношения, связывающие отыскиваемые величины , , , , , с ,. В свою очередь, нахождение данных функций представляет собой итерационный процесс, в котором на каждой последующей итерации вычисляется поправка к , , , . В дальнейших выкладках эти поправки будем обозначать как , , , , а под , , , понимать неизвестные функции, найденные на предыдущей итерации данного итерационного процесса. В этих обозначениях разрешающие соотношения для отыскания поправок примут вид:

,

где

,

Здесь и далее - -кратный интеграл от функции , а - его значение в точке ; - -кратный интеграл от функции , а - его значение в этой же точке; выражения для , , получаются путём замены индекса на индекс в предыдущих соотношениях.

Нелинейный операторы и конструируются путём подстановки аппроксимирующих соотношений в нелинейные составляющие уравнений пологих оболочек и интегрирования с и соответственно.

Коэффициенты , отыскиваются из условий минимума разности между и , и соответственно; , - из условий минимума разности между и , и соответственно.

Соотношения для определения , конструируются аналогичным образом. Полученная таким образом система соотношений дополняется условиями для определения и (из условий минимума функционалов (2.1), (2.2)).