Громов В. А.
Днепропетровский национальный университет им. О.
Гончара, Украина
Разрешающие соотношения метода
наилучшего базиса для уравнений теории пологих оболочек
Численному и аналитическому исследованию нелинейных
краевых задач теории пологих оболочек посвящено значительное число
исследований, что объясняется математической и вычислительной сложностью данного
класса задач, с одной стороны, и широким применением тонкостенных конструкций в авиационной и космической технике,
строительстве, биомеханике.
В качестве исходных разрешающих
соотношений используются соотношения нелинейной теории пологих оболочек,
которые в общем виде могут быть записаны в виде
.
(1)
Соотношения (1) дополняются необходимыми граничными
условиями на торцах оболочки.
Ставиться
задача отыскания наилучшего приближения к решению нелинейной краевой задачи
(1):
(2.1)
,
(2.2)
причём определению подлежат не только коэффициенты и
, но и базисные функции
,
,
,
,
.
Неизвестные
базисные функции отыскиваются последовательно: сначала находится решение задачи
для , далее полученное решение уточняется для
, при этом используются величины
,
,
,
,
,
, полученные на предыдущем этапе; при отыскании решения для
произвольного
величины
,
,
,
,
,
для
считаются найденными
на предыдущих этапах.
Вариируя соотношения (2.1), (2.2) по ,
,
,
или, соответственно,
дифференцируя по
и
, после
соответствующих преобразований получаем соотношения, связывающие отыскиваемые
величины
,
,
,
,
,
с
,
. В свою очередь, нахождение данных функций представляет
собой итерационный процесс, в котором
на каждой последующей итерации вычисляется поправка к
,
,
,
. В дальнейших выкладках эти поправки будем обозначать как
,
,
,
, а под
,
,
,
понимать неизвестные
функции, найденные на предыдущей итерации данного итерационного процесса. В
этих обозначениях разрешающие соотношения для отыскания поправок примут
вид:
,
где
,
Здесь и далее
-
-кратный интеграл от функции
, а
- его значение в
точке
;
-
-кратный интеграл от функции
, а
- его значение в этой
же точке; выражения для
,
,
получаются путём
замены индекса
на индекс
в предыдущих
соотношениях.
Нелинейный операторы и
конструируются путём
подстановки аппроксимирующих соотношений в нелинейные составляющие уравнений
пологих оболочек и интегрирования с
и
соответственно.
Коэффициенты ,
отыскиваются из
условий минимума разности между
и
,
и
соответственно;
,
- из условий минимума
разности между
и
,
и
соответственно.
Соотношения для определения ,
конструируются
аналогичным образом. Полученная таким образом система соотношений дополняется условиями для определения
и
(из условий минимума
функционалов (2.1), (2.2)).