Гавеля Г.М.
Днепропетровский национальный университет
им. О. Гончара, Украина
УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С ЗОНОЙ РАССЛОЕНИЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНЕШНЕГО ДАЛЕНИЯ
Рассматривается
тонкостенная двухслойная цилиндрическая оболочка, занимающая область и имеющая область
расслоения
: (
). Радиус оболочки
, длина
, толщины слоев
и
соответственно, на
оболочку действует равномерное внешнее давление
.
На участке
расслоения существуют
чередующиеся области раздельного деформирования
:(
,
) и нормального контакта слоев
: (
,
), где
(рис. 1).
На каждом участке для всех
слоев должны выполняться условия равновесия, условия совместности деформаций и
физические соотношения. На границах зон контакта и раздельного деформирования
должны выполняться условия неразрывности деформаций слоя, вдоль образующих и
– условия симметрии,
на краях
– условия закрепления.
Кроме того, должны выполняться условия для прогибов внутреннего и внешнего
слоев как на границе зоны
,
(1)
,
так и внутри
,
. (2)
Здесь и дальше первый индекс означает номер слоя ( 1 – внутренний слой на участке расслоения, 2 – наружный слой,), второй индекс означает номер участка, совпадающий с номером начальной точки участка.
Вариационная задача, эквивалентная сформулированной краевой, для которой условия (1), (2) являются естественными, строится с помощью множителей Лагранжа. Соответствующий функционал имеет вид:
(3)
где – потенциальная энергия деформации
-того участка,
– потенциал внешних сил,
– функционал
присоединенных условий геометрических и физических соотношений [1],
– множители Лагранжа для присоединенных условий (1), (2). При
этом предварительно должны быть выполнены условия совместности по перемещениям
и углам поворота на границах зон контакта
,
и
,
соответственно
,
(4)
а также условия периодичности (или симметрии) для каждого слоя.
Условие
стационарности функционала с переменными границами
(5)
дает систему нелинейных уравнений для каждого из слоев на каждом из участков (индексы, указывающие на номер участка и слоя в (3) – (8), опущены), условия (1), (2), условия совместности по силовым факторам
,
,
, (6)
,
,
и условия трансверсальности
,
(7)
на границах и
, где
– мембранные
усилия;
– изгибающие и
крутящий моменты;
– перерезывающие
силы;
– внешнее давление;
– перемещения;
– углы поворота
нормалей;
– продольная и окружная
координаты;
– модуль упругости и
коэффициент Пуассона
- того слоя в
- том направлении;
.
Полученные
зависимости определяют физический смысл множителей Лагранжа . Функции
представляют собой контактное давление на участках контакта,
– скачки погонных
перерезывающих сил на границах зон контакта.
Для разделения переменных входящие в
функционал функции
и
представляются с учетом
условий симметрии при
и шарнирного опирания
торцов при
в виде:
,
.
(8)
Для
упрощения принято, что существует одна зона расслоения. Разрешающая система
уравнений относительно компонент вектор-функции и
, граничные условия в точках
и
получаются после подстановки
(8) в (3) и (5) и применения процедуры интегрирования по координате
и варьирования соответствующего
функционала по компонентам вектор-функции
.
Для решения этой
задачи использовался метод перехода к эквивалентной задаче Коши, изложенный в
[2]. При этом задавался начальный вектор , в который входят значения функций задачи в точке
и величины
контактного давления
и подвижной границы
зоны контакта
, которые должны удовлетворять системе дифференциальных уравнений
и граничным условиям.
Интегрирование задачи Коши с
начальным вектором , осуществляемое с помощью метода Рунге-Кутта, дает вектор
невязок
краевых условий и соотношений (2), (4).
С помощью изложенного алгоритма исследовалось поведение
и определялись критические нагрузки цилиндрической двухслойной оболочки с геометрическими
параметрами:
под действием
внешнего равномерно распределенного давления. Физические параметры изотропных
слоев:
,
,
. Рассматривались оболочки с различными по размеру и по форме
зонами расслоения. На рис.2 представлено радиальное перемещение
центральной точки
нижнего слоя в зоне расслоения, квадратного по форме, со стороной
. Кривая 1 соответствует изменению перемещения
при увеличении
давления для значений
; кривая 2 –
; кривая 2 –
.
Для оболочек с меньшей зоной отслоения критическая
нагрузка значительно выше, радиальные перемещения при этом больше.
Исследовалось также влияние формы зоны отслоения на
значение критической нагрузки. Кроме квадратной зоны отслоения, рассматривалась
зона отслоения в виде полосы вдоль образующей шириной
и в виде кольца шириной
, расположенная на равном расстоянии от торцов. На рис. 3
представлена зависимость критической нагрузки от величины
для квадратной зоны
расслоения (кривая 1), в виде полосы (кривая 2) и кольцевой зоны (кривая 3). Из
графика видно, что для узких зон расслоения
и широких
форма зоны расслоения
незначительно влияет на величину
. Значения критической нагрузки для оболочек с квадратной
зоной расслоения и кольцевой близки по значению и при
значительно отличаются
от критической нагрузки
для оболочек с зоной расслоения в виде полосы. Здесь же приведены результаты экспериментальных исследований из работы [3] для квадратной зоны расслоения (отмечены символом ).
Из численного анализа решений при
различных вариантах геометрии участка расслоения установлено, что при
приведенном соотношении , отрыва слоев не наблюдается, контактное давление
в зависимости от
размеров
изменяются мало (рис.
4)
1.
Железко И.П. Влияние расслоений
на несущую способность
оболочек / И.П. Железко, Н.И. Ободан // Изв. АН СССР. Механика твердого
тела.– 1986.– №6.– С.153 – 158.
2. Андреев Л.В. Устойчивость оболочек при
неосесимметричной деформации /
Л.В. Андреев, Н.И. Ободан, А.Г. Лебедев.– М.: Наука, 1988.– 208 с.
3. Андреев Л.В. Задачи устойчивости цилиндрической оболочки с переменной жесткостью
при внешнем давлении / Л.В. Андреев, Н.И. Ободан // Прикладная механика. 1968.–
Т. 4. – №12.– С. 82 – 88.