Гавеля Г.М.

Днепропетровский национальный университет им. О. Гончара, Украина

УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С ЗОНОЙ РАССЛОЕНИЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНЕШНЕГО ДАЛЕНИЯ

Рассматривается тонкостенная двухслойная цилиндрическая оболочка, занимающая область и имеющая область расслоения : (). Радиус оболочки , длина , толщины слоев и соответственно, на оболочку действует равномерное внешнее давление .

На участке расслоения существуют чередующиеся области раздельного деформирования :(, ) и нормального контакта слоев : (, ), где (рис. 1).

На каждом участке для всех слоев должны выполняться условия равновесия, условия совместности деформаций и физические соотношения. На границах зон контакта и раздельного деформирования должны выполняться условия неразрывности деформаций слоя, вдоль образующих и – условия симметрии, на краях – условия закрепления. Кроме того, должны выполняться условия для прогибов внутреннего и внешнего слоев как на границе зоны

,

(1)

,

так и внутри

, . (2)

Здесь и дальше первый индекс означает номер слоя ( 1 – внутренний слой на участке расслоения, 2 – наружный слой,), второй индекс означает номер участка, совпадающий с номером начальной точки участка.

Вариационная задача, эквивалентная сформулированной краевой, для которой условия (1), (2) являются естественными, строится с помощью множителей Лагранжа. Соответствующий функционал имеет вид:

(3)

где – потенциальная энергия деформации -того участка, – потенциал внешних сил, – функционал присоединенных условий геометрических и физических соотношений [1], – множители Лагранжа для присоединенных условий (1), (2). При этом предварительно должны быть выполнены условия совместности по перемещениям и углам поворота на границах зон контакта , и , соответственно

, (4)

а также условия периодичности (или симметрии) для каждого слоя.

Условие стационарности функционала с переменными границами

(5)

дает систему нелинейных уравнений для каждого из слоев на каждом из участков (индексы, указывающие на номер участка и слоя в (3) – (8), опущены), условия (1), (2), условия совместности по силовым факторам

,

,

, (6)

,

,

и условия трансверсальности

, (7)

на границах и , где – мембранные усилия; – изгибающие и крутящий моменты; – перерезывающие силы; – внешнее давление; – перемещения; – углы поворота нормалей; – продольная и окружная координаты; – модуль упругости и коэффициент Пуассона - того слоя в - том направлении; .

Полученные зависимости определяют физический смысл множителей Лагранжа . Функции представляют собой контактное давление на участках контакта, – скачки погонных перерезывающих сил на границах зон контакта.

Для разделения переменных входящие в функционал функции и представляются с учетом условий симметрии при и шарнирного опирания торцов при в виде:

, . (8)

Для упрощения принято, что существует одна зона расслоения. Разрешающая система уравнений относительно компонент вектор-функции и , граничные условия в точках и получаются после подстановки (8) в (3) и (5) и применения процедуры интегрирования по координате и варьирования соответствующего функционала по компонентам вектор-функции .

Для решения этой задачи использовался метод перехода к эквивалентной задаче Коши, изложенный в [2]. При этом задавался начальный вектор , в который входят значения функций задачи в точке и величины контактного давления и подвижной границы зоны контакта , которые должны удовлетворять системе дифференциальных уравнений и граничным условиям.

Интегрирование задачи Коши с начальным вектором , осуществляемое с помощью метода Рунге-Кутта, дает вектор невязок краевых условий и соотношений (2), (4).

С помощью изложенного алгоритма исследовалось поведение и определялись критические нагрузки цилиндрической двухслойной оболочки с геометрическими параметрами: под действием внешнего равномерно распределенного давления. Физические параметры изотропных слоев: , , . Рассматривались оболочки с различными по размеру и по форме зонами расслоения. На рис.2 представлено радиальное перемещение центральной точки нижнего слоя в зоне расслоения, квадратного по форме, со стороной . Кривая 1 соответствует изменению перемещения при увеличении давления для значений ; кривая 2 – ; кривая 2 – .

Для оболочек с меньшей зоной отслоения критическая нагрузка значительно выше, радиальные перемещения при этом больше.

Исследовалось также влияние формы зоны отслоения на значение критической нагрузки. Кроме квадратной зоны отслоения, рассматривалась зона отслоения в виде полосы вдоль образующей шириной и в виде кольца шириной , расположенная на равном расстоянии от торцов. На рис. 3 представлена зависимость критической нагрузки от величины для квадратной зоны расслоения (кривая 1), в виде полосы (кривая 2) и кольцевой зоны (кривая 3). Из графика видно, что для узких зон расслоения и широких форма зоны расслоения незначительно влияет на величину . Значения критической нагрузки для оболочек с квадратной зоной расслоения и кольцевой близки по значению и при значительно отличаются от критической нагрузки для оболочек с зоной расслоения в виде полосы. Здесь же приведены результаты экспериментальных исследований из работы [3] для квадратной зоны расслоения (отмечены символом ).

Из численного анализа решений при различных вариантах геометрии участка расслоения установлено, что при приведенном соотношении , отрыва слоев не наблюдается, контактное давление в зависимости от размеров изменяются мало (рис. 4)

Библиографические ссылки

1. Железко И.П. Влияние расслоений на несущую способность оболочек / И.П. Железко, Н.И. Ободан // Изв. АН СССР. Механика твердого тела.– 1986.– №6.– С.153 – 158.

2. Андреев Л.В. Устойчивость оболочек при неосесимметричной деформации / Л.В. Андреев, Н.И. Ободан, А.Г. Лебедев.– М.: Наука, 1988.– 208 с.

3. Андреев Л.В. Задачи устойчивости цилиндрической оболочки с переменной жесткостью при внешнем давлении / Л.В. Андреев, Н.И. Ободан // Прикладная механика. 1968.– Т. 4. – №12.– С. 82 – 88.