ФИЗИКА/ 2.Физика твердого тела.

Ильюшин Ю. В.

Пятигорский государственный гуманитарно-технологический университет, Россия

Основы теплопроводности твердых тел

 

Тепловое  движение  частиц  твердого  тела,  как  конденсированной  среды,    отлично  от  движения  частиц  газов.  В  основу  теории  твердого  тела  положена  модель  бесконечного  монокристалла.  Частицы  твердого  тела,  связанные  между  собой  силами  взаимодействия,  которые  зависят  от  расстояния,   совершают  колебания  около положений  равновесия  в  узлах  кристаллической  решетки. На  основе  этого  и  разработана  теория  теплоемкости  и  теплопроводности  твердого  тела.  Знание  величин  теплоемкости  и  коэффициента  теплопроводности  твердого  тела необходимо для инженерных расчетов при создании новых машин, расчете их коэффициента полезного действия.  Также они  нужны  в  строительстве  для  расчета  тепловых  свойств  строений,  их  теплоизоляционных  свойств.  В  общем случае перенос тепла осуществляется двумя типами носителей: электронами проводимости и собственно фононами.  Рассмотрим  основные  механизмы  переноса  тепла  в  твердом  теле.

Тепловая энергия содержится в колебательных модах кристалла. В диэлектриках этот механизм является основным, поскольку свободных электронов в диэлектриках нет. При низких температурах разрешенные энергии нормальных мод квантованы и передача энергии, сопровождающая теплопроводность, осуществляется через механизм, описываемый в представлении о фононах. В идеальном гармоническом кристалле фононные состояния считаются стационарными. Поэтому, если установилось некоторое распределение фононов с направленными в одну сторону групповыми скоростями, то это распределение не будет меняться с течением времени, так что поток тепла не будет затухать. Т.е. идеальный гармонический кристалл имел бы бесконечную теплопроводность. Помимо несовершенств решетки, играющих роль рассеивающих центров, теплопроводность реальных диэлектриков принимает конечные значения из-за ангармонизма колебаний решетки. В отличие от гармонической, в ангармонической модели волны могут взаимодействовать. На квантовом языке - фононы могут рассеиваться с рождением и поглощением фононов. В процессах 3-го порядка фонон может распасться на два других, либо два фонона могут слиться и образовать третий. В процессах 4-го порядка участвуют 4 фонона. Т.е. один фонон может распасться на три, либо три фонона могут слиться с образованием одного. Или же два фонона могут рассеяться друг на друге и сформироваться два новых. Все эти и аналогичные процессы более высокого порядка называются рассеянием, либо столкновением, либо переходами фононов. Теплопроводность металлов должна складываться из теплопроводности фононной (теплопроводность решетки) и электронной подсистем:  kappa= kappalat + kappae.  Однако механизм решеточной теплопроводности в металлах в значительной мере маскируется электронным механизмом переноса тепла.

В  металлах  значительную  роль  в  процессе  теплопроводимости играет  электронная  теплопроводимость. Она  также  существует  и  в  полупроводниках,  особенно  легированных  электронодонорными  элементами.      По  величине  электронная теплопроводность  и  фононная  теплопроводности  в  металлах  будут  равны:

               Сэл/Сф » 0.01 ,  Vзв  »  5 ·103 м/с,  Vт  »  106 м/с ,

                  lф  »  10-9 м,  lэл  »  10-8 м,

                  Кф / Кэл  »  0.05.

В  чистых  металлах  электронная  теплопроводность  больше  в  20  раз.  В сплавах фононная и электронная теплопроводности приблизительно равны.  Например, бериллий  Ве с низкой электропроводностью обладает теплопроводностью в 5 раз большей, чем у стали. Ве входит в состав теплопроводящих паст и подложек для мощных усилителей и генераторов.

      В результате взаимодействия фононов между собой и с электронами рассеивается энергия.  Это  взаимодействие интерпретируется как тепловое сопротивление  RT :

                        

 где  L  и  S  -  длина и площадь образца или фрагмента конструкции.

Расчет теплового сопротивления сложной детали проводится по правилам, аналогичным законам Ома.

 Коэффициент  тепло проводимости  для  электронного  газа  в  металлах  имеет  значение:

             Кэл  =  Сэл  lэл  Vт ,                                                                         (1)

где Сэл – теплоемкость  электронного  газа,  lэл - длина свободного пробега электрона,   Vт - тепловая скорость:

            ,  где  mе - масса электрона.

Особую  сложность  при использовании  формулы  (1)  представляет,  вычисление  величины  длинны  свободного пробега  электрона,  поскольку  это величина  статистическая  и  зависит  от  движения  других  электронов  в  металле.

При температурах выше комнатной для большинства металлов   можно сделать следующее допущение

                                                                          

Формула для электронной теплопроводности принимает вид:

                                                                                                

Формула (4) совпадает с законом Видемана-Франца.

Таким образом, пользоваться законом Видемана-Франца при расчете теплопроводности металлов можно только при температуре выше температуры Дебая. При  температурах  ниже  температуры  Дебая  использование  закона Видемана-Франца   приведет  к  большим  неточностям  при  вычислении  теплопроводности металлов.

Характерный вид кривой зависимости л(Т) приведен на рисунке  1.  теоретические  и  экспериментальные  исследования  показали,  что  тепло проводимость  кристаллических  веществ  в  области  максимума  л(Т)  довольно  сильно  зависит  от  дефектов  кристаллической  решетки.

Рис. 1. Температурная зависимость коэффициента электронной теплопроводности.

I - Увеличивается тепловая скорость Vт. 

II -  Cущественно уменьшается длина свободного пробега lэл из-за роста концентрации фононов в результате электрон-фононного взаимодействия.  При  Т<< иD  вероятность рассеивания  фононов  уменьшается  за  экспонентой,  что  приводит  к  быстрому  росту  теплопроводности:  .  

III -  При высоких температурах устанавливается баланс между lэл  и  nф, электронная теплопроводность практически не зависит от температуры.  При  этом величины  Сэл  и  Vт    можно  считать  постоянными.

Теория  теплопроводности  твердого тела  на  сегодняшний  день  разработана  недостаточно.  Она  прекрасно  справилась  с  объяснением  теоретических  вопросов  теплопроводности,  ее  зависимости  от  температуры  в  разных  температурных  диапазонах,  но  она  не  может  пока  что  дать  возможность  вычислить  теплопроводность  разных  материалов  с  достаточной  точностью.  Наибольшую  сложность  для  вычисления  теплопроводности  представляют  диэлектрические  материалы,  ведь  теплопроводности кристаллических и аморфных тел значительно отличаются между собой. Это связано с отсутствием в аморфных телах трансляционной симметрии («дальнего порядка»). Качественно отличный также характер зависимостей л(Т). Для аморфных тел максимум на кривых л (Т) не наблюдается,  для них характерно увеличение л  с  повышением   температуры  Т.  При высоких температурах л  стремится к насыщению.

Значение описывается формулой Дебая: 

,  lФ 

равняется приблизительно расстоянию между структурными частицами аморфного тела. Но  точное  вычисление  длины  свободного пробега  на  данный  момент  невозможно.

Поэтому  теория  теплопроводимости  в  наше  время  активно  развивается. 

 

Литература:

1.            Кухлинг  Х. Справочник  по  физике: Пер. с  нем. – М.: Мир,  1983. – 520  с.

2.            Яворский  Б. М.,  Детлаф  А. А.  Справочник  по  физике. – М.:  Наука,  1982. – 846  с.