Громов В. А.
Днепропетровский
национальный университет им. О. Гончара, Украина
Метод
наилучшего базиса в
нелинейных
краевых задачах теории пологих оболочек
Неослабевающий интерес к анализу решений нелинейных краевых задач теории пологих оболочек обусловлен широким практическим применением тонкостенных оболочечных конструкций в различных областях современной техники и сложностью численного построения указанных решений и анализа картины закритического ветвления.
Рассматриваются
уравнения теории пологих оболочек, которые для случая цилиндрической оболочки
принимают вид:
,
. (1)
Здесь и далее: ,
,
– длина, радиус и
толщина оболочки соответственно;
, где
– коэффициент Пуассона
материала оболочки;
,
,
,
–
безразмерные продольная и окружная координаты (чертой сверху помечены размерные
величины);
,
– безразмерные
нормальный прогиб и функция усилий;
– функция внешнего
давления, действующего на оболочку, представлена в виде произведения функций
одной переменной; оператор
даётся выражением:
. (2)
На границах формулируются краевые
условия, которые вместе с уравнениями (1) и требованием замкнутости (
-периодичности) решения в окружном направлении образуют
нелинейную краевую задачу для определения напряжённо-деформированного состояния
нагруженной цилиндрической оболочки.
В общем виде соотношения (1) могут быть
представлены в виде
,
(3)
где - оператор обратный
оператору
, определённому соотношением (2); нелинейные операторы
,
действуют в
пространствах
, введённых для анализа нелинейных краевых задач теории
пологих оболочек И. И. Воровичем. В этой же работе доказано существование
решений нелинейной краевой задачи (1) – функций
,
.
Зададимся целью отыскать функции ,
,
,
и величины
и
наилучшим образом
приближающие неизвестные функции
,
:
(4.1)
. (4.2)
Функции ,
в выражениях (4) не
вариируются – это вполне определённые (хотя и неизвестные нам) функции –
неизвестными являются и подлежат вариации функции
,
,
,
и величины
и
. В дальнейшем изложении ограничимся преобразованиями (4.1) –
преобразования для (4.2) осуществляются аналогично.
Вариация данного соотношения по с учётом соотношений
(3) даёт уравнение
.
(5)
Четырёхкратное дифференцирование по выражения (4) даст
соотношение
;
(6)
двукратное дифференцирование по выражения (4) с
последующим двукратным применением формулы интегрирования по частям –
; (7)
четырёхкратное применением формулы интегрирования по
частям –
. (8)
Здесь -
-кратный интеграл от
;
,
- выражения,
выходящие на границы промежутка интегрирования при применении процедуры
интегрирования по частям. Заменяя
на
, где
определяются из
условий минимума выражений
,
, (9)
суммируя таким образом преобразованные соотношения
(5)-(8) и подставляя вместо
, в пренебрежении
получаем систему
интегро-дифференциальных уравнений относительно
,
. В сочетании с граничными условиями, аналогичными
соотношениями, получаемыми при вариации (4.1) по
и вариации (4.2) по
,
, условиями
стационарности (4.1), (4.2) по
и
получаем замкнутый
набор уравнений для отыскания
,
,
,
и величины
и
. Для уточнения полученных решений формируются разрешающие
соотношения на основе функционала вида:
(10)