Технические науки/2. Механика
Ободан Н.И., Адлуцкий В.Я.
Днепропетровский национальный университет, Украина
КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА
РАСПРОСТРАНЕНИЯ
ТРЕЩИН В ТОНКИХ ПЛАСТИНАХ
Для получения достаточно адекватных результатов при моделировании процессов разрушения во многих случаях используется линейная теория Гриффитса [2,4,5]. В качестве критерия разрушения в настоящее время наибольшее распространение получил энергетический критерий, основанный на концепции инвариантного J-интеграла Черепанова-Райса [1,2,4,5].
Рассматривается тонкая пластина с размерами в плане и толщиной h, из материала с упругими
константами Е и
, где Е –
модуль Юнга,
– коэффициент Пуассона. Пластина
содержит исходное повреждение в виде
трещины, размеры которой малы в сравнении с размерами пластины. Деформация пластины
осуществляется под действием нагрузок, способных вызвать дальнейшее
распространение трещины. Ставится задача определения критических нагрузок, при
которых происходит рост трещины, характера устойчивости этого процесса, а также
нахождения траектории трещины вплоть до момента возможного разделения пластины
на фрагменты.
Моделирование процесса
распространения трещины осуществляется с помощью МКЭ. Для дискретизации
пластины используется конечноэлементная сетка, состоящая из трехузловых изопараметрических
треугольных элементов, позволяющих учитывать как мембранные, так и изгибные
факторы. В качестве критерия разрушения выбирается локальный энергетический
критерий на основе инвариантного J-интеграла Черепанова-Райса. Считается, что
трещина начинает распространяться при условии , где
– предельное значение
J-интеграла.
Для решения вопроса о направлении дальнейшего распространения трещины,
на каждом шаге процесса нагружения выбирается веер возможных направлений роста,
исходя из топологии конечноэлементной сетки в окрестности текущей вершины
трещины. После вычисления J-интеграла для каждого из таких направлений, за
истинное направление распространения трещины выбирается то, которому соответствует
экстремальное значение J-интеграла.
Критерий
разрушения дает возможность определить
значение критической нагрузки, при которой происходит старт трещины. Если
значение нагрузки в расчете равно Р и
максимальное значение J-интеграла при этом
достигает значения J,
то вследствие линейности используемой модели разрушения следует, что , где
– значение критической нагрузки.
Пусть текущая
вершина трещины находится в узле М
конечноэлементной сетки. Множество элементов конечноэлементной сетки, примыкающих к
вершине М , обозначим через
,
, где N –
общее число конечных элементов. Через
и
обозначим ближайшие к вершине М узлы на берегах трещины, остальные узлы обозначим через
,
. Введем локальную ортогональную декартову систему координат
с началом в точке М, направив ось
вдоль отрезка
(рис.1,а). Любой
отрезок
,
определяет одно из потенциально возможных направлений
роста трещины. Направлению
во введенной системе
координат ставится в соответствие полярный угол
. Предположение о росте трещины в направлении
приводит к
необходимости моделирования разреза вдоль отрезка
, что, в свою очередь, связано с разбиением множества
на два –
и
:
,
где
– полярный угол,
соответствующий внутренней точке элемента
, например – его центру.
На рис 1,б
множество заштриховано. Для моделирования участка трещины, образовавшегося
вдоль отрезка
все элементы
множества
переопределяются
таким образом, что узел М в них
заменяется вновь введенным узлом
, геометрически совпадающим с М, но не тождественным ему. Для элементов множества
узел М остается неизменным,
и ему придается смысл узла
. Таким образом осуществляется разрыв связей между элементами
множеств
и
в узле М.
Новая вершина М перемещается в
узел
.
Приведенные ниже результаты получены с
использованием регулярной сетки КЭ, состоящей из квадратных ячеек размером , каждая из которых разбита диагоналями на четыре прямоугольных
треугольника. Выбор такой сетки, помимо простоты генерации, удобен для
моделирования роста трещины из данной вершины в семи возможных направлениях (не
считая направления уже существующего разреза). Предусмотрена возможность выхода
трещин на границу исследуемой области, в том числе, на границы отверстий и уже
имеющихся трещин, вследствие чего
изменяется связность области.
Пример 1. Рассматривается пластина с размерами в плане и толщиной h, растягиваемая вдоль краев
и
равномерно
распределенной нагрузкой интенсивности p, содержащая в центральном сечении
трещину длиной
, левый конец которой расположен в центре пластины (рис.2).
Задано следующее
соотношение геометрических параметров: . Значение коэффициента Пуассона
=0,3. Вследствие эксцентриситета расположения начальной
трещины максимальное значение J-интеграла в правой вершине
трещины превышает значение в левой, и рост трещины происходит вправо. В силу
симметрии развитие трещины осуществляется вдоль прямой
. На рис.2 приведен график зависимости критической нагрузки
от длины трещины
(кривая 1). Здесь же
приведено точное решение [4] для бесконечной пластины, растягиваемой равномерно
распределенной на бесконечности нагрузкой параллельно оси
(кривая 2):
, где
– критическое
значение J-интеграла для трещин отрывного типа.
Как следует из сравнения результатов, для
малых значений длин трещин решения обеих задач
близки, а далее с ростом трещины критическая нагрузка для пластины конечных
размеров убывает значительно быстрее, чем для бесконечной пластины, что связано
с меньшей жесткостью первой. Поскольку
во всем диапазоне длин l, то процесс распространения
трещины носит неустойчивый характер.
Пример 2.
Рассматривается пластина с размерами в плане и толщиной h, содержащая в центральном сечении
начальную трещину с
полудлиной
. Пластина нагружена двумя противоположно направленными
силами величиной Р каждая, приложенными
в точках с координатами
в направлении оси у (рис.4). В силу симметрии развитие
трещины осуществляется вдоль прямой
в обе стороны.
На рис.4
приведены графики зависимостей критической нагрузки от длины трещины
(
– кривая 1,
– кривая 2). Здесь же
приведены точные решения [4] для бесконечной пластины с трещиной при тех же нагрузках
(
– кривая 3,
– кривая 4):
,
.
Как следует из
приведенных данных, решения для пластины конечных размеров при различных
значениях d практически совпадают при , при этом процесс разрушения носит неустойчивый характер.
Для
при малых длинах
трещины решения для конечной и бесконечной пластин близки, но с ростом трещины
наблюдаются качественные различия в характере поведения критических нагрузок:
для бесконечной пластины они соответствуют устойчивому процессу разрушения, а
для конечной, как уже отмечено, – неустойчивому. Для
результаты для
конечной и бесконечной пластин существенно разнятся во всем диапазоне изменения
длин трещины. Указанные различия связаны с меньшей жесткостью конечной пластины
в сравнении с бесконечной.
Реализованный в
данной работе алгоритм численного моделирования процесса распространения трещин
в тонких пластинах позволяет эффективно решать достаточно сложные задачи
линейной теории разрушения. Предложенный
алгоритм может быть использован также для анализа процесса разрушения более
сложных тонкостенных конструкций, например, оболочечных.
Литература:
1.
Качанов
Л.М. Основы механики разрушения. – М.,
1974. – 312 с.
2.
Керштейн
И.М. Клюшников В.Д., Ломакин Е.В.
Основы экспериментальной механики разрушения/ – М., 1989. – 140 с.
3.
Морозов
Е.М. Никишков Г.П. Метод конечных элементов в механике разрушения . – М., 2008. – 256 с.
4.
Партон
В.З. Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения: Основы механики
разрушения . – М., 2008. – 352 с.
5.
Партон
В.З. Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения: Специальные задачи
механики разрушения . – М., 2008. – 192 с.