Економічні науки/Математичні методи в економіці

Глушик М.М., Телесницька Н.М.

Львівська комерційна академія

Математичне моделювання процесів управління запасами фірми з обмеженими можливостями

Теорія управління запасами є одним із найбільш перспективних напрямків математичної економіки. Задача управління запасами виникає тоді, коли необхідно створити запас матеріальних ресурсів або предметів споживання з метою задоволення попиту на заданому інтервалі часу (скінченному або нескінченному).

Запаси матеріальних ресурсів необхідні для забезпечення неперервного та ефективного функціонування практично будь-якої фірми. Дефіцит ресурсу може виникнути у випадку різних темпів виробництва продукції, їх постачання і споживання, оскільки ритми виробництва в постачальників і споживачів не узгоджені, а процес постачань є дискретним. Також можуть мати місце випадкові коливання в інтенсивності споживання та тривалості інтервалів між постачаннями. Тому в підвищенні мобільності запасів закладено великий резерв економії.

Необхідність надійного забезпечення попиту спонукає збільшувати запаси. Попит можна задовольнити шляхом однократного створення запасу на весь розглядуваний період часу або для кожної одиниці часу даного періоду. Такі підходи є малоефективними в господарській діяльності фірми, оскільки при залишковому запасі мають місце більш високі питомі (віднесені до одиниці часу) капітальні вкладення, але дефіцит виникає рідше і частота розміщення замовлень менша. З іншого боку, при недостатньому запасі питомі капітальні вкладення знижуються, але частота розміщення замовлень і ризик дефіциту зростають.

Для будь-якого з вказаних крайніх випадків характерні значні економічні витрати. Таким чином, рішення відносно заміру запасу і моменту його розміщення можуть базуватися на мінімізації відповідної функції загальних витрат.

При управлінні запасами часто виникає необхідність у врахуванні різного виду обмежень. Наприклад, підприємство оптової або роздрібної торгівлі не може зробити значні замовлення через обмеженість оборотних коштів або відсутність складських приміщень для зберігання товарів. І навпаки, дрібні замовлення можуть виявитися невигідними постачальнику. Крім того, можливі обмеження, пов’язані з умовами транспортування, та інші.

Площа, призначена для зберігання запасу, складається із корисної і обслуговуючої. Обслуговуюча площа забезпечує доступність машин і механізмів, які обслуговують запас. Оскільки існують технічні норми на використання таких площ, то їх використання не представляє інтересу і в подальшому ми їх виключаємо з розгляду.

Запас продукції складується на піддони в k шарів (ярусів) (k=1,2,3,…) , які потім зберігаються на полицях стелажів, що мають корисну площу .

В даній роботі автори аналізують витрати пов’язані з завезенням та зберіганням продукції при наявності обмежень на площу складських приміщень фірми, оскільки їх недостатня кількість стримує накопичення запасів. Тому обмеження на корисну площу складу слід розглядати в якості одного з найбільш важливих обмежень при управлінні запасами. Розв’зок задачі управління запасами в цьому випадку будемо знаходити застосовуючи метод множників Лагранжа.

В математичній формі задача формулюватиметься наступним чином: знайти розміри партій товарів  ( - кількість номенклатур), які мінімізують сумарні витрати [1]

                                                        (1)

де   - витрати, пов’зані зі зберігання одиниці товару i – ої номенклатури,

 - обсяг товару i – ої номенклатури,

 - витрати пов’язані з завезенням товару i – ої номенклатури,

 - річний обсяг товару i – ої номенклатури,

і задовільняють обмеженню на корисну площу складу

                                                                        (2)

де  - корисна площа, яку займає одиниця товару  - ої номенклатури,  - корисна площа складу, яка може бути виділена для зберігання поточного запасу всіх  номенклатур.

Задача полягає в мінімізації витрат на завезення та зберігання запасу.

Для знаходження обсягів партій товару запасу і термінів постачання скористаємося методом множників Лагранжа.

Суть методу множників Лагранжа полягає в тому, що замість функції (1) мінімізується функція

,                (3)

де  - множник Лагранжа.

Знайдемо частинні похідні функції Лагранжа  по  та  і прирівняємо їх до нуля:

                                  (4)

.                                                            (5)

З  рівнянь (4) виразимо  через :

,                                                     (6)

і, підставивши (6) (2), отримаємо

                                                          (7)

Рівняння (7) містить одне невідоме . Якщо його визначити, то оптимальний розмір i – ої партії товару можна знайти за формулою (6).

Зазвичай  шукають шляхом підбору, тобто для деякого значення  обчислюються величини  за формулою (6), а потім перевіряється виконання рівності (7). Підбір  продовжується доти, доки різниця між лівою і правою частинами (7) стане незначною, а потім за формулою (6) шукають оптимальні розміри партій, підставляючи які в формулу (1) визначають мінімальні сумарні витрати. Зокрема, при  з формул (6) отримуємо вирази для абсолютних оптимальних розмірів партій. Тому підбір  потрібно починати з .

Приклад. Величини, необхідні для аналізу системи управління запасами, наведені в таблиці. Корисна площа складу  м2.

Товар

 (грн.)

 (грн.)

 (грн.)

 (м2)

1

10000

0,2

40

0,15

2

20000

0,1

30

0,1

 

Визначити оптимальні характеристики системи управління запасами з врахуванням обмежень на корисну площу складу. Продукція складується на піддонах в один шар (k=1).

Розв’язок. При роз’язуванні задачі будемо виходити з того, що замовлення на продукцію здійснюються ритмічно з періодом Т і обсяг товару є сталим і рівним S. Вказана стратегія може бути застосована тільки за умови детермінованого попиту;

Знайдемо абсолютні () оптимальні розміри партій за формулою  (див. (6) при ):

 (одиниць),  (одиниць).

При цьому абсолютний мінімум річних витрат рівний

 грн. Для зберігання товарів необхідний склад корисною площею  м2, який більший за корисну площу на 150 м2. Відповідно замовляти партії абсолютними оптимальними розмірами 2000 одиниць і 3500 одиниць не можна.

При  маємо ,  од.,  м2.

Оскільки є вільна площа складу, то розміри партій можна збільшувати, зменшуючи . Зокрема, при , , ,  м2; при , , , м2; при , , ,  (м2).

Таким чином, оптимальні розміри партій при наявності обмежень на об’єм складу рівні ;  одиниць. Оскільки товари номенклатур складуються в один шар, то мінімальні сумарні витрати складуть:  (грн.).

Знаючи , ,  і , неважко визначити оптимальне число і період поставок кожного товару, а також середні рівні запасів:

, ,  днів,  днів;  од.;  од.

Зауважимо, що за подібною схемою розв’язуються задачі з вибору оптимальних параметрів системи управління запасами при наявності інших обмежень.

Отже, без застосування методів кількісного аналізу неможливо досягнути найвигіднішого компромісу між суперечливими вимогами: з одного боку, зменшення сумарних витрат на постачання та зберігання, з іншого - надійного забезпечення попиту.

Література

1.     М.М. Глушик, Н.М. Телесницька Н.М. Дослідження операцій.(Гриф МОН) – Львів: «Новий світ-2000», 2009. -368 с.

2.     Глушик М.М., Телесницкая Н.М. Математические аспекты эффективности производственной деятельности предприятия. Materialy ІV mezinarodni vedecko – prakticka konference «Efektivni nastroje modernich ved – 2008». Dil 5. Ekonomicke vedy: Praha. Publishing House «Education and Science» s.r.o -112 stran.